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, ao 5 et suivants.

246. Lorsque la voûte est élevée sur des culées ou piédroits, tout ce qui vient d’être dit doit être appliqué, en regardant les culées ou piédroits comme faisant partie de la voûte. *

247. D’après ce qui précède, le procédé que l’on doit suivre pour vérifier l’existence de l’équilibre dans une voûte, consiste (a ) , dans la presque totalité des cas

(a) Le procédé que l’on indique ici, fondé sur les notions exposées dans les numéros précédents, est conforme à la théorie donnée par Coulomb, dans les Mémoires des savants étrangers présentés à l'Académie des Sciences, 1773. M. Audoy a remarqué, dans le n° 4 du Mémorial de l’officier du génie , que les conditions d'équilibre obtenues par ce procédé ne différaient point de celles que l’on

160 leçons sur l’application

qui peuvent se présenter, i° à chercher la valeur de la poussée horizontale Q appliquée en N (Fig. 34 ), en supposant diverses positions au joint de rupture mn dans les reins de la voûte , et s’arrêtant à la position pour laquelle l’expression du n° a43 ,

rv GC«-x)-|Rz’

ou simplement ( en négligeant l’adhésion des mortiers )

donne la plus grande valeur.

a° A examiner si l’action de la poussée horizontale, ainsi déterminée , est assez grande pour renverser en dehors , en la faisant tourner sur l’arête des voussoirs, une partie de la demi- voûte A B NM, ou la totalité de cette demi-voûte. On reconnaîtra généralement, à la seule inspection , que la poussée horizontale renverserait plus facilement la demi -voûte entière qu’une portion de cette demi -voûte. Ainsi on devra faire la vérification dont il s’agit , en supposant la rupture dans le premier joint AB; c’est-à-dire s’assurer que l’expression

ou, en négligeant l’adhésion des mortiers,

trouve par les méthodes Moins simples exposées dans le ftecueild’expérfenees et d’observations de M. Boistard, et dans le Traité de la construction des ponts de M. Gauthey.

DE LA MÉCANIQUE, l" 1 PARITE. iGl

calculée pour ce joint, est plus grande que la poussée horizontale.

3° A examiner si la poussée horizontale peut faire glisser sur les plans de joint une partie, ou la totalité de la demi-voûte; c’est-à-dire à s’assurer que l’expression ' •

Q G(cos.9-f-ysin.8)4 - yz

sin. 8 — f cos. 6 ’

ou, en négligeant l’adhésion des mortiers,

q q cos. 9 +y sin. 0

^ sin.0 — y cos. 8’

calculée pour un joint quelconque voisin de la naissance de la voûte, est plus grande que la poussée horizontale. Si ce joint était horizontal, l’expression précédentç deviendrait simplement

ou, en négligeant l’adhésion des mortiers,

On pourra s’aider, pour la recherche de la situation du joint de rupture et de la poussée horizontale, des résultats rapportés n M a34 et suivants. Dans les voûtes en arc de cercle et en plate-bande, la position du joint de rupture est connue d’avance , et la valeur de la poussée horizontale peut être calculée immédiatement.

Lorsque le résultat du calcul a fait connaître que la voûte projetée ne serait pas en équilibre, on doit augmenter l’épaisseur au sommet, ou la largeur des piédroits, ou les poids dont ils sont chargés. Si le défaut

i6a leçons sur l’application

d’équilibre provenait de ce que les parties inférieures sont exposés à glisser sur les plans de joint, on pourrait y remédier sans augmenter le volume de la maçonnerie, soit en interrompant les joints par des pierres posées debout, soit en inclinant en dedans les plans de joint, soit enfin en liant les parties de la maçonnerie par des armatures en fer.

a4B. Lorsque les parties inférieures de la voûte , ou les culées ou piédroits sur lesquels elle est établie, ne sont pas formés avec des pierres qui en occupent toute l’épaisseur, il est nécessaire d’avoir égard à la possibilité d’une rupture dans la maçonnerie de ces piédroits , conformément à ce qu’on a vu n°* 1 48 et suivants. Par exemple, dans la voûte dont la fig. 3g représente la moitié , on sait d’avance que la rupture tend à s’opérer suivant mno. On calculera donc la poussée horizontale Q , d’après la condition que cetteforce, appliquée en N, empêche la partie «noNM de tourner sur l’arête rn. Pour s’assurer ensuite que la poussée Q, ainsi déterminée , ne peut opérer le renversement du piédroit en le faisant tourner sur l’arrête B, on doit regarder ce piédroit comme susceptible de se diviser suivant une ligne inclinée B/, et établir les conditions d’équilibre de la masse ABCNRI, soumise à l'action de la force horizontale Q , qui tend à la faire tourner sur l’arête B , en se conformant à ce qui a cté fait dans les n 05 cités.

Si la force de cohésion du mortier, dans la maçonnerie de la culée, était supposée très-petite ou nulle, on devrait admettre immédiatement ( çonforpiément aux n“ i5i et i5a), que la rupture du piédroit aura lieu suivant la direction Bm, et ne tenir aucun compte de la portion de maçonnerie A Bot.

DE LA MÉCANIQUE, i" PARTIE. l 63

249. Lorsque la fondation d'une voûte est établie sur un terrain compressible , on doit avoir égard aux considérations exposées n 01 191 et suivants. Ainsi , pour la voûte dont on vient de parler, la largeur aë de la fondation devrait être déterminée parla condition que le moment du poids de la masse de maçonnerie aë CN M/n , pris par rapport au milieu de aë, fût égal au moment de la poussée horizontale Q , pris par rapport au même point.

Des pressions exercées contre les plans de joint dans les voûtes en berceau.

a 5 o. Supposant que la valeur de la poussée horizontale Q ait été calculée conformément au n° 247 , et conservant les dénominations du n° 240 , qui se rap- ' portent à la fig. 34 , on aura

T = G sin. 8 + Q cos. 8

pour la valeur de la pression exercée normalement contre un joint quelconque mn. Cette pression , pour un joint horizontal tel que AB, se réduit à

G représentant le poids de AB NM. Pour le joint vertical MN, elle se réduit, comme cela doit être, à

25 i. La connaissance de la valeur des pressions exercées perpendiculairement aux plans de joint ne suffit pas pour vérifier que ces pressions ne sont pas assez grandes pour causer l’écrasement de la pierre. Il fau-

drait connaître de plus la manière dont les pressions peuvent être réparties dans la hauteur mn des plans de joint. Considérons une voûte dans laquelle la rupture tend à s’opérer de la manière indiquée fig. 37 , et qui est en équilibre , ensorte que si l’on diminuait un peu la largeur des piédroits , la rupture aurait lieu ; et regardons les voussoirs comme des corps parfaitement durs appliqués les uns contre les autres. La pression qui s’exerce contre le joint MN (Fig. 34), et qui est la poussée horizontale Q, sera évidemment appliquée contre l’arète supérieure N. Si mn était le joint de rupture, la pression exercée contre ce joint serait aussi évidemment appliquée contre l’arête m. Enfin la pression exercée contre le dernier joint AB le sera évidemment contre l’arête B. Quant aux joints intermédiaires, on doit admettre qu’aux joints voisins deMN et AB, la pression est appliquée contre les arêtes supérieures; * et qu’aux joints voisins du joint de rupture, la pression est appliquée contre les arêtes inférieures. On distinguerait les joints intermédiaires entre ceux où la pression est appliquée à l’arête supérieure, et ceux où elle est appliquée à l’arête inférieure , par la condition que la résultante des deux forces G et Q , qui produisent cette pression , passe à égale distance des arêtes supérieure et inférieure.

a5a. Dans la réalité , les voussoirs n’étant pas des corps parfaitement durs, on ne peut admettre que les pressions s’exercent ainsi contre des arêtes. Cela n’empêche pas que l’on ne puisse calculer, avec une exactitude suffisante, l’équilibre des voûtes d’après les règles énoncées précédemment ; mais il paraît nécessaire d’avoir égard à l’élasticité de la matière des voussoirs, pour évaluer les efforts auxquels les parties de la pierre

Diq

DE LA MÉCANIQUE, i" PARTIE. l65 -

sont exposées. Cette question serait un cas particulier d’une question plus générale , qui consiste à déterminer les effets qui se produisent dans un corps élastique de figure quelconque, soumis à l’action de diverses forces. La solution de ce dernier problème ne pouvant être donnée ici , on cherchera à déterminer les efforts dont il s’agit d’après des suppositions qui paraissent s’éloigner très-peu des effets naturels , et qui sont propres à donner des limites , dont la connaissance est très-utile pour l’établissement des constructions.

Supposons, comme dans le n° précédent, la voûte en équilibre , et la rupture prête à s’opérer de la manière indiquée fig. 37 . Les joints pour lesquels il importe le plus de connaître la valeur de la pression supportée par la pierre, sont les joints de rupture, savoir * les joints extrêmes MN et AB (Fig. 34)» et le joint de rupture placé dans les reins, que nous supposerons être mn. *

En considérant d’abord le joint MN, et remarquant que la voûte étant prête à se rompre , ce joint tend à s’ouvrir en M, nous admettrons i° que les deux voussoirs séparés par ce joint, ne pressent point l’un contre l’autre par l’arête inférieure M; 2 0 que, par l’effet de l’élasticité de la matière dont ils sont formés, ils se sont un peu comprimés en s’appuyant l’un contre l’autre, de manière que la compression, qui est nulle à l’arête M, augmente uniformément depuis cette arête jusqu’à l’arête supérieure N; 3° que les éléments de la hauteur du joint résistent avec des forces proportionnelles aux compressions qu’ils subissent, et qui augmentent aussi uniformément, depuis l’arête M où elles sont nulles, jusqu’à l’arête N où elles sont à leur

i66 leçons suit l’application

maximum. Cela posé, nommant

K la pression maximum qui s’exerce contre l’arête N , la valeur de cette pression étant rapportée à l’unité de surface;

v la distance d’un point quelconque de M N à l’extrémité inférieure M; c la hauteur totale MN de ce joint;

K vdv ....

on aura — - — pour la pression qui s exerce contre l e-

lément , de la hauteur du voussoir dv placé à la distance v de l’arête inférieure. Or les pressions exercées contre tous les éléments doivent être telles que la somme de leurs moments, pris par rapport à l’arête m , soit égale au moment du poids G de la portion de voûte mnNM, pris par rapport à la même arête. Cette somme de moments étant

dv.v{b — y+v), ou ~K[3(& — j)c-t- 2 c’], on a donc l’équation

iK[3(è- <r )c + ac*]=G(«— *);

d’où

On pourra calculer, au moyen de cette formule , la valeur de la plus grande pression à laquelle la pierre est exposée à la clef d’une voûte sur l’unité superficielle , et vérifier, d’après ce qui a été dit n° iaa, si cette pierre a la force nécessaire pour y résister.

a53. On remarquera ici que, dans les hypothèses

DE LA MÉCANIQUE, I re PARTIE. 167

qui viennent d’être établies, on doit prendre pour la poussée horizontale de la voûte la somme des pressions exercées dans la hauteur du joint M N. En désignant cette somme par Q’ , on aura

Q'=^ f dv.v=--±Kc;

et en mettant pour R la valeur précédente ,

ry 3 G (a — x)

^ 3 (b — j) + ac

Le point d’application de la résultante Q' est aux de la hauteur du joint, à compter de l’extrémité inférieure M. Cette nouvelle valeur de la poussée horizontale surpasse un peu la valeur désignée ci-dessus par Q, c’est-à-dire

et qui est calculée en supposant cette poussée appliquée en N. Il est plus exact, pour vérifier l’équilibre de la voûte , de prendre la force Q' pour la poussée horizontale; mais les résultats différeront généralement très-peu de ceux que l’on obtiendrait en regardant cette poussée comme représentée par la force Q, conformément au n° 247-

254. En considérant maintenant le joint de rupture mn, on admettra également que la pression est nulle à l’arête supérieure m, où le joint tend à s’ouvrir, et qu’elle augmente uniformément depuis cette arête jusqu’en n, où cette poussée est à son maximum, z désignant toujours la hauteur mn du joint, R la valeur

lt>8 LEÇONS SLR LAPPLICATION

maximum de la pression , v la distance d’un point quelconque de mn à l’extrémité supérieure n, on aura comme

ci-dessus pour la pression supportée par un élé-

ment de la hauteur du voussoir. La condition à laquelle les pressions supportées par les divers éléments sont assujéties, est ici que leur somme soit égale à la pression normale exercée contre le joint par le poids G de la portion de voûte mn NM, et par la poussée ho-

rizoutale O. Cette somme étant — / vdv, ou -Kz,

on a donc l’équation

^Kz=Gsin. ô + Q'cos.ô ;

d’où

2(Gsin.0 + Q' cos. $)

formule qui fera connaître la valeur de la plus grande pression normale à laquelle la pierre ôst exposée sur l’unité superficielle, dans le joiut de rupture. Cette valeur est double de celle qu’on trouverait, en supposant l’effort uniformément réparti dans toute la hauteur du joint.

a55. En considérant enfin le joint AB, et admettant les suppositions indiquées dans le n° précédent, on reconnaît que l’expression précédente de R convient également à ce joint. G représente alors le poids total de la demi voûte ABNM; et si le joint dont il s’agit est horizontal , on a simplement