PARTIE

DE LA MÉCANIQUE, i"

joints de rupture , les hypothèses précédentes ne peuvent pas s’y appliquer généralement avec exactitude ; parceque lors même qu’une voûte est prête à se rompre , comme nous le supposons ici , ces joints ne tendent pas toujours à s’ouvrir, ensorte que l’on ne peut supposer nulle la pression exercée contre l’arête inférieure ou contre l’arête supérieure du joint. Pour les joints dont il s’agit , la pression se répartit d’une manière moins inégale dans toute la hauteur du plan de joint. Par conséquent si , en n’ayant point égard à cette remarque , on calculait pour ces joints la valeur de K par la formule du n° a54, le résultat surpasserait la véritable valeur de la pression normale à laquelle la pierre serait exposée. On conçoit d’ailleurs, à moins que la figure de la voûte ne soit très irrégulière , que si la pierre a une résistance suffisante à la clef, au joint de rupture , et aux joints inférieurs des piédroits , elle l’aura à plus forte raison dans toutes les autres parties.

257 . Ou a supposé n° a5a que la voûte était en équilibre, ou prête à se rompre, et cette supposition était nécessaire pour que l’on pût regarder les joints de rupture comme prêts à s’ouvrir. Dans la réalité les voûtes ont toujours un excès de stabilité, au moyen duquel aucun joint ne s’ouvre, si ce n’est par l’effet de la compression des mortiers , circonstance dont on fait ici abstraction. La valeur de la poussée horizontale doit toujours se calculer d’après les règles établies précédemment. Les voussoirs se trouvant partout maintenus en contact sur toute la hauteur des plans de joint , on n’est plus assuré d’être d’accord avec les effets naturels en supposant la pression nulle à l’arête inférieure ou à l’arête supérieure du joint, et l’on doit

penser au contraire que la pression s’exerce sur toute la hauteur du joint, quoique moins fortement près de l’arète où le joint s’ouvrirait , si la voûte pouvait se rompre. La valeur totale de la pression exercée contre les plans de joint ne peut jamais surpasser d’ailleurs celle que l’on calculerait par les formules du n° a5o. On conclut de ces remarques que , si l’on appliquait à une voûte où il y a excès de stabilité, les formules des n°* a5a et a54, les valeurs de R ainsi obtenues surpasseraient toujours celles des pressions exercées , et donneraient des limites dont les véritables pressions seraient d’autant plus éloignées que l’excès de stabilité de la voûte serait plus grand. Les moindres valeurs qu’il soit possible d’attribuer à R sont d’ailleurs celles que l’on obtiendrait en supposant les pressions uniformément réparties dans la hauteur des joints.

■ 258. Lorsque les voussoirs ne sont pas posés immédiatement les uns contre les autres, et lorsque l’on décintre une voûte avant que les couches de mortier interposées dans les joints aient acquis une dureté suffisante , il peut y survenir des tas sements qui fassent ouvrir un certain nombre de joints près des points de rupture. Dans cette circonstance , la pierre peut être exposée à des efforts plus grands que ceux calculés d’après les n" a5a et a54, parceque la pression doit être regardée comme nulle , non-seulement à l’une des extrémités du joint , mais sur une certaine portion de la hauteur de ce joint. Ces effets , que l’on doit tâcher de prévenir, ne paraissent pas susceptibles d’être ramenés à des termes précis, et soumis à un calcul exact.

DE LA MÉCANIQUE, l" PARTIE. 1 7 1

De l’usage des tirants de fer pour consolider les coûtes en berceau. '

259. Lorsque les piédroits d’une voûte ont trop peu de largeur pour qu’elle se maintienne ert équilibre, cette voûte peut être consolidée au moyen de tirants en fer, placés dans les reins. L’usage de' ces tirants est très-commun en Italie , où l’on en voit dans les édifices les plus magnifiques. Supposons que la voûte représentée fig. 4 ° tend à rompre dans le joint mn , les parties supérieuress’abaissanten s’appuyant l’une contre l’autre par l’arête N, et renversant les parties inférieures, contre lesquelles elles portent par les arêtes /«, et qu’elles tendent à faire tourner sur les arêtes B. On préviendra la rupture de cette voûte en liant les deux moitiés par un tirant horizontal. Il convient de placer ce tirant immédiatement au dessous du joint de rupture mn. En effet, quand la voûte commence à se rompre, les points m sont ceux qui parcourent horizontalement le plus grand espace. Or on peut s’opposer à cette rupture au moyen d’une force horizontale , dont le moment , c’est-à-dire le produit de la force et de l’espace parcouru dans le sens de cette force par son point d’application , doit avoir une valeur déterminée , pour rendre nulle la somme des moments des forces qui agissent sur chaque moitié de la voûte. On doit donc appliquer cette force dans la direction mm, puisque l’espace parcouru par le point d’application étant alors le plus grand possible , la force sera la moindre possible.

On connaîtra d’ailleurs la tension qui peut s’établir dans le tirant, en remarquant que le moment de cette tension ajouté au moment du poids de la demi

voûte ABM N , doit être égal au moment de la poussée horizontale qui s’exerce en fiT; tous ces moments étant pris par rapport à l'arête B. /

260. Lorsque l’épaisseur d’une voûte et de ses piédroits est très-petite par rapport à l’ouverture, il est possible qu’un seul tirant ne suffise pas pour en prévenir la rupture. On le vérifiera en considérant à part les portions de voûte ABmn, wnNM, et appliquant à chacune les règles énoncées précédemment. Si ces portions de voûte n’étaient pas en équilibre, on devrait y placer de nouveaux tirants, à la hauteur des joints où la rupture tendrait à s’opérer, en déterminant, d’après ce qui vient d’ètre dit , les efforts auxquels ces tirants se trouveraient exposés.

261. Les tirants, employés de la manière qui vient d’être expliquée, sont exposés à être rompus par suite de l’abaissement de la température , et on doit en régler la grosseur de manière à prévenir cet effet. On nommera

t la tension du tirant lorsque la température est le plus élevée ;

U l’aire de la section transversale du tirant ;

l la longueur du tirant;

X la variation absolue de cette longueur, pour un abaissement donné de la température (a);

K' la plus grande tension à laquelle on veut que le fer soit exposé, rapportée à l’unité superficielle.

Eaura la signification indiquée n° 47-

(a) Cette variation se calculera en remarquant que le fer forgé s’allonge ou s’accourcit, pour une variation de température de ioo" du thermomètre centigrade, de 0,00122; le fer fondu, de 0,00111; le bois de sapin , de 0,0008.

DE LA. MÉCANIQUE , I re PARTIE. tj3

Le fer ayant du s’accourcir de la quantité \ , se trouve dans le même cas que si l’on avait exercé sur lui un effort capable de l’allonget de la même quantité, effort qui" serait exprimé par Eu.^ Par conséquent, par

l'effet de l’abaissement de la température , la tension primitive t est devenue t

t + Eu .

La section ta doit done être déterminée de manière que l’on ait

R/ W = f -t-Ew.y, d’où w = -

On voit qu’il est impossible de remplir la condition que l’effort exercé sur l’unité superficielle , ne dépasse pas R', si l’abaissement de la température est tel que l’on \ R'

ait ^ = — • Les valeurs qui doivent être attribués pour

L Li

le fer forgé à E et à R' ont été indiquées n° s 70 et ia 5 .

De V équilibre des voûtes en dôme.

262. L’équilibre des voûtes en dôme diffère principalement de l’équilibre des voûtes en berceau , en ce que , dans ces dernières , le renversement comporte seulement les disjonctions dans les joints indiquées dans les n os précédents. Il n’est pas nécessaire, pour que la voûte se rompe, qu’il se forme aucune autre disjonction, suivant des plans perpendiculaires à la longueur de cette voûte. Une voûte sphérique, au contraire, ne peut-être renversée, sans que les joints ne

s’ouvrent comme iIriis les voûtes cylindriques , et en outre sans qu’il ne se forme des lézardes dans la direction des plans méridiens. La formation de ces lézardes exige que la cohésion des mortiers soit détruite. La rupture de la voûte exigerait de plus une sorte de désunion et de déplacement relatif des pierres voisines, tel^ que, si ces pierres étaient grandes, appareillées avec soin, et posées à joints croisés, elles devraient être en parties cassées pour que cette rupture pût avoir lieu. Il est difficile d’évaluer, avec une exactitude suffisante, l’effet de la cohésion des mortiers, et surtout l’effet de la résistance des pierres. Mais il paraît convenable de n’avoir pas égard à ces deux circonstances lors de l’établissement d’une grande voûte (a). Nous regarderons ici une voûte sphérique comme partagée en un grand nombre de parties séparées par les plans méridiens , et n’ayant entre elles aucune liaison.

a63. D’après cela , tout ce qu’on a dit ci-dessus sur l'équilibre des voûtes en berceau pourra s’appliquer aux voûtes en dôme, avec cette seule différence qu’au

(<?) Il résulte des calculs des PP. Lcsueur, Jacquier et Boscowich , que, abstraction faite de l’adhésion des mortiers, le moment des forces agissantes pour le renversement de la coupole de Saint-Pierre de Rome, est au moment des forces résistantes, dans le rapport de 3 à a environ. ( Parère di tre malematici sopra i danni che si sono trovati ne Ha cupola di S. Pietro al fine delF anno 174a. ) Cette coupole est presque entièrement construite en brique , avec dn mortier du pouzzolane. L’adhésion des matériaux a suffi long-temps pour maintenir l’équilibre. Mais des lézardes produites par de petits mouvements imprimés par la chute de la foudre et lef tremblements de terre, s’étant multipliées et ayant augmenté peu à peu, les progrès de ces dégradations ont dû être arrêtés en entourant les parties inférieures du dôme par des cercles en fer.

DE LA. MÉCANIQUE, l r ' PARTIE. 1^5

lieu de considérer des portions de voûte comprises entre des plans verticaux parallèles, on devra considérer l'assemblage d’un très-grand nombre de portions de voûte, comprises entre des plans verticaux qui forment entre eux un très-petit angle, et se coupent suivant l’axe du dôme. L’équilibre de chacune de ces portions de voûte devra être vérifié , d’après les règles exposées précédemment. Mais il est indifférent de considérer à part une de ces portions, ou d’établir le calcul en considérant à la fois la totalité du dôme. La fig. 4i représentant le plan d’une voûte sphérique, on peut également vérifier l’équilibre d’une portion BOB’Æoraprise entre deux plans méridiens très-voisins , ou celui de la moitié ôBB'ô' de cette voûte. En adoptant ce dernier parti , on imaginera qne la demi circonférence bBB'b' a été développée en 6BB'€', et que tous les autres éléments demi circulaires de la voûte ont été également développés sur les arêtes du cylindre horizontal , qui les toucherait dans la section méridienne projetée en BOB'. Il en résultera une portion de voûte en berceau , comprise entre les plans verticaux €06', €06', à laquelle on appliquera les règles exposées dans les n" a4o et suivants. On remarquera d’ailleurs, en déterminant le poids et la position du centre de gravité des diverses parties , que cette portion de voûte est contenue entre deux plans verticaux inclinés par rapport à l’axe du cylindre , ensorte que les éléments horizontaux ont d’autant moins de longueur qu’ils sont plus voisins du sommet, où leur longueur est nulle.

Il est évident que s’il existe des portes ou des fenêtres dans les parties inférieures du dôme, on doit supposer des vides correspondants dans la portion

I76 LEÇONS SUR LAPPI.ICATION

de voûte en berceau gOg', dont les conditions d’équilibre sont les mêmes que celles de ce dôme.

264. Lorsqu’une voûte en dôme est en équilibre, on peut la couper suivant un plan horizontal , et eu retrancher la partie supérieure, sans que l’équilibre cesse de subsister. Si , par exemple, on a enlevé la portion. m«NM (Fig- 34 )i et que l’on considère la partie restante AB/z/n d’une portion du dôme comprise entre deux plans méridiens très-voisins, il peut arriver, ou que cette portion se soutiendrait d’elle-même, ou qu’il serait nécessaire, pour qu’elle se soutînt , que l’on appliquât une force horizontale en n. Dans le dernier cas, il s’établit entre les voussoirs, vers l’extrémité supépérieure de la partie restante AB mn , et perpendiculairement aux joints verticaux , des pressions horizontales qui n’existent point lorsque la voûte est entière.

265. Si une voûte en dôme était effectivement formée d’un grand nombre de parties séparées parles plans méridiens, et sans liaison entre elles, on ne pourrait la couper suivant ces plans et en supprimer une partie , sans en causer la rupture. Ainsi les grandes niches, ou hémicycles, ne se soutiennent que par l’effet de la liaison des matériaux, ou parceque le mur de face offre une stabilité suffisante pour résister à l’action latérale de la demi voûte.

De r usage des ceintures en fer pour consolider les voûtes

en dôme .

266. L’utilité de ces armatures est prouvée par un grand nombre d’exemples (a). Les mêmes considéra-

(a) Voyez le deuxième li?re des Memorie istoriche delta gran cu-

UE LA MÉCANIQUE, l” PARTIE. I']']

tions, présentées n° 259, montrent que les cercles doivent être placés de préférence à la hauteur dti joint de rupture. En désignant par t la tension d’un cercle, cette tension produit l’effet d’une force horizontale égale à

ÜTZ.t,

qui serait distribuée uniformément dans tous les points de la circonférence du cercle, et perpendiculairement à cette circonférence. Par conséquent si, pour calculer l’équilibre d’une voûte en dôme, 011 la concevait remplacée par une voûte en berceau , de la manière expliquée n u 2G3, il faudrait concevoir les deux moitiés de cette voûte réunies l’une à l'autre par un ou plusieurs tirants , dont la tension ou la somme des tensions serait égale à r.t.

La proposition précédente se conclut de ce qui a été dit n° 227. On peut s’en rendre raison directement, en remarquant que, d’après le principe des vitesses virtuelles, l’équilibre des forces appliquées dans le sens des rayons et de la force appliquée dans le sens de la circonférence, exige que les premières soient à laseconde comme une variation très-petite de la circonférence est à une variation correspondante du rayon ; c’est-àdire comme la circonférence est au rayon.

Les considérations exposées n° 260 et 261 s'appliquent également aux cercles employés pour consolider les dômes.

pola ciel tempio Vaticano, de Poleni, où l’auteur cite plusieurs dômes réparés et consolidés au moyen de cercles en fer. Le dôme intérieur et le cône qui supporte la lanterne, à Saint- Paul de Londres , sont consolidés de la même manière.

J 7 8 LEÇONS SUR LAPPUCATION

De l’équilibre des voûtes en arc de cloître et des voûtes

d arête.

267. Les figures l\-x et 43 représentent le plan d’une voûte en arc de cloître, élevée sur une base polygonale. On peut supposer cette voûte partagée , par des plans verticaux passant par les angles du polygone , en parties qui ne sont pas liées les unes aux autres; et considérer à part deux parties opposées, BOB', BOB', comme une portion de voûte en berceau. On appliquera à cette portion de voûte les règles exposées dans les n“ 240 et suivants, en ayant toujours égard, dans l’évaluation des volumes et la détermination des centres de gravité, à ce qu’elle est comprise entre des plans inclinés par rapport à l’axe du berceau. Dans la réalité les parties de la voûte sont liées entre elles, soit par l’adhésion des mortiers, soit parce qu’on place ordinairement dans les arêtes des chaînes eu pierre plus fortes, qui devraient être désunies et cassées pour que la rupture s’opérât. L’effet de ces liaisons est ici plus sensible qu’il ne l’est dans les dômes , et d’autant plus que la base de la voûte est un polygone d’un moindre nombre de côtés. Mais cet effet n’étant pas de nature à être évalué avec exactitude , il ne paraît pas que l’on doive y avoir égard , surtout dans l’établissement d’une grande voûte.

268. L’équilibre d’une voûte d’arête (Fig. ' 44 ) peut être considéré de la même manière , en la supposant partagée en parties indépendantes l’une de l’autre par les plans verticaux BOB', BOB'. Les portions BOB, B' OB' appartiennent à une même voûte en berceau, et tendeut à se rompre, en renversant les piliers sur

DE X.\ MECANIQUE, i” PARTIE. 179

les arêtes B b , B’ô'. On remarquera qu’ici les éléments horizontaux de ces portions de voûte ont plus de longueur à mesure qu’ils sont plus rapprochés du sommet. La poussée horizontale, par cette raison, est plus grande , à épaisseur égaie , qu’elle ne l’est dans les voûtes en arc de cloître , où le contraire a lieu. Mais on voit, d’un autre côté, que les piliers sont chargés du poids des deux autres portions de voûte BOB’, BOB', et qu’ils ne peuvent être renversés sans entraîner dans leur mouvement ces portions de voûte, dont le moment, pris par rapport aux arêtes Bô, B' b', doit être réuni au moment de stabilité des moitiés des portions B O B, B' O B' , pris par rapport aux mêmes arêtes. Les voûtes dont il s’agit diffèrent en cela de celles en arc de cloître, où, dans le cas d’une rupture, les parties seraient renversées séparément, et ne sont pas consolidées les unes par les autres. Les remarques faites ci-dessus sur l’effet des liaisons des parties de la voûte, trouvent également ici leur application.

ARTICLE IV

Des calculs relatifs a l' établissement des 'voûtes.

269. Les calculs indiqués dans l’article précédent ont pour objet l’évaluation des volumes des parties des voûtes, et la recherche des situations des centres de gravité de ces parties, ou plutôt des distances horizontales des centres de gravité à un plan donné. Quand il s’agit d’une voûte eu berceau comprise entre deux plans verticaux perpendiculaires à l’axe de cette voûte, le calcul est en général établi pour une unité de

l8o LEÇONS SUR LAPPL1CATION

longueur de la voûte, et l’on a seulement à considérer les aires des parties de la section transversale. Dans d’autres cas , et spécialement dans les calculs relatifs à l'établissement des dômes, des voûtes en arc de cloître et des voûtes d’arête , on doit considérer les volumes des parties de la voûte.

La ligure de la section transversale d’une voûte étant ordinairement formée par des lignes droites, des arcs de cercle ou d’autres courbes dont on a les équations, on peut effectuer rigoureusement les calculs dont il s’agit, d’après les règles que la géométrie fournit à cet effet (a). Mais il sera plus simple, comme l'a remarqué Coulomb (ô), d’employer des méthodes d’approximation.

La figure dont il s’agit peut toujours être décomposée en parties telles que A B M N ( Fig. 45 ) , comprises entre deux lignes verticales et deux lignes courbes ou droites. Si la voûte est terminée par deux plans verticaux perpendiculaires à l’axe, il suffit de considérer l’aire À B N M. Si cette voûte est terminée par deux plans verticaux CQ, C'Q' inclinés sur cet axe, il faudra considérer le volume correspondant à l’aire ABNM, et projeté horizontalement en CC' Q'Q. Cela posé, nommons

x l’abscisse A p\ y la longueur /nn; z la longueur qq ;

X l’abscisse AP;

(a) M. Audoy a établi de cette manière les formules relatives au* diverses espèces de voûtes en berceau. Voyez son Mémoire dans le Memorial du génie, n u

(b) Mémoires des savants étrangers, 1773.

DK LA MÉCANIQUE, l r * PARTIE. 1 8 1

et regardons^- et z comme des fonctions de x. Si nous considérons seulement l’aire ABNM, nous aurons

pour la valeur de cette aire ; et

J xydx / ydx

pour la distance horizontale de son centre de gravité à la ligne AB. Si nous considérons le volume projeté en CC'Q'Q, nous aurons

pour valeur de ce volume ; et

/ xjzdx

/ yzd:

pour la distance horizontale de son centre de gravité au plan vertical dont CC' est la trace.

270. On voit, par ce qui précède, que les calculs dont il s’agit se réduisent toujours à l’évaluation d’intégrales définies , exprimées généralement par

LEÇONS SIJH l’/VPPLICATION

Or on a, pour exprimer la valeur de ces intégrales, les formules approchées suivantes. Supposant l’intervalle AP ou X partagé en un certain nombre n de parties , et désignant par w la longueur de l’une de ces parties, en sorte que X=.n co, on aura

J Jx.T*=l [fo + 4 ï>+ ,F. + 4 F> + . . • + 4 F(X-»+ FX

<0* ( d' Fx à} FA .

2880 \ dx* dx ’ ) ’

ou bien

J </;r.F:r=ft> JVj»-!- F-fw 4- F 4 «-t-. . . .4- F(X—

F»\ 7»' f * Fx d'F 0 \ .

r J ~ VdP” ~ *37 ' +

a' /dF x 24 \ dx

y représentent les valeurs que prendra la foncd Fx

tion — - lorsque x = X et x==o («). La seconde de ces

formules comporte le calcul de deux fois moins de

termes que la première. Elle suppose la nature de la

fonction Fa: telle, que les coefficients différentiels

d.~Fx d 1 . Fx , . • a ■ 1

~'dx ’ "d 1 » etc » ne reviennent pas înnnis pour des

valeurs de x comprises entre o et X ; par exemple, que la tangente de la courbe dont Fa: représente l’ordonnée ne soit point, dans cet intervalle, perpendiculaire à l’axe des x. Quand cette condition n’est pas remplie , on doit considérer à part les portions de la courbe

( a ) Voyez la démonstration de ces formules dans les Exercices de calcul intégral de M. Legendre, tome I, page 3o8.

voisines du point où la tangente est perpendiculaire à l’axe des abscisses, et en calculer l’aire séparément. On doit prendre la distance «u assez petite pour que le terme affecté de w 4 puisse être négligé. On peut, dans les opérations relatives à l’établissement des voûtes, mesurer, sur des dessins faits avéc exactitude, les longueurs des lignes représentées par jet z dans le n° précédent, ce qui abrégera beaucoup ces opérations.