QUATRIÈME SECTION

DE l’eQUILIBRE ET DE RETABLISSEMENT DES CONS- TRUCTIONS EN CHARPENTE.

271. Les constructions en charpente consistent généralement dans un système de pièces assujetties les unes aux autres, aux extrémités seulement, ou daus divers points de la longueur. Ces constructions offrent des propriétés différentes , suivant qu’elles sont supportées par-dessous, ou suspendues à des points fixes plus élevés que la construction. Il est toujours • nécessaire que l’équilibre du système soit stable; mais, dans le premier cas, cette condition ne peut être remplie qu’autant que la figure de ce système est invariable ; dans le second cas, l’équilibre sera toujours stable, lors même que la construction serait parfaitement flexible.

Le principe le plus général dont on puisse faire dépendre la disposition d’un système de charpente, consiste en ce que les pièces principales doivent être placées suivant des lignes droites tracées des points où s’exercent les efforts aux points d’appui. Dans une

construction ainsi disposée, les efforts qu’elle supporte ne tendent point à en changer la figure en faisant tourner les pièces sur les assemblages placés à leurs extrémités. Ce principe est principalement applicable aux constructions soutenues par-dessous.

Chaque pièce d'une construction en charpente doit offrir une résistance proportionnée aux efforts qu’elle peut avoir à supporter.

ARTICLE PREMIER

De la résistance d'une pièce prismatique posée horizontalement , chargée et supportée de diverses manières.

nyi. Les résultats présentés dans les n°* 55 et suivants font connaître les conditions de l’équilibre pour une pièce prismatique, dans les cas les plus simples. Cette pièce étant encastrée à une extrémité (Fig. 5 et 7 ), chargée à l’autre extrémité d’un poids P , et sur chaque unité de la longueur d’un poids p, on a (n“ 55 et 58)

Pc 3 p c* i 3 e 8

pour l’abaissement BM de l’extrémité libre; c étant la longueur AM, et t le moment d’élasticité dont l’expression générale est donnée n° 5o.

273 . Lorsqu’une pièce est posée librement sur deux appuis (Fig. 6 et 8 ), chargée au milieu du poids 1 P, et sur chaque unité de longueur d’un poids p, on a ( n"* 56 et 5q )

DE LA MÉCANIQUE, i” PARTIE. 1 85

pour l’abaissement CA du milieu du solide ; c étant la moitié A M de l’intervalle des appuis.

274. Les résultats présentés dans les n“ 82 et suivants font connaître les conditions de l’équilibre pour une pièce prismatique, chargée de la même manière, dans le cas de la rupture. D’après les n 05 8 a , 84 et 87, lorsqu’un solide est encastré horizontalement à une extrémité , chargé à l’autre d’un poids P, et sur chaque unité de longueur du poids p\ ou bien quand un solide est posé horizontalement sur deux appuis, chargé au milieu du poids a P, et sur chaque unité de longueur du poids p; on a également (en négligeant la considération de la courbure du solide)

c représentant la longueur du solide dans le premier cas , ou la moitié de l’intervalle des appuis dans le second, p est le moment de rupture dont l’expression générale est donnée n 01 75 et 76.

275. Lorsque la figure que prend un solide prismatique par l’effet de la flexion est connue, on en déduit immédiatement les conditions de l’équilibre relatives au cas de la rupture. Le solide tend à se rompre dans le point où la courbure est la plus grande ; et quand il est prêt à se rompre le moment de la résistance à la flexion, en ce point, est égal au moment de la résistance à la rupture. Ainsi les conditions d’équilibre dont il s’agit s’obtiennent en égalant p à la

valeur maximum de x etj' étant l’abscisse et l’ordonnée de la courbe du solide, t ayant la signification indiquée n° 55 , et p la signification indiquée n° 8a.

LEÇONS SDR l’aPPLICATION

Équilibre d’une pièce posée sur deux appuis , et chargée en un point quelconque de l’ intervalle des appuis.

276. On suppose qu’un solide MM' (Fig. 46 ), posé sur deux appuis placés sur une même ligne horizontale , est chargée d’un poids 2 P suspendu au point B, qui n’est pas placé au milieu de l’intervalle des appuis. Il s’agit de connaître les conditions d’équilibre du solide par rapport à la flexion et par rapport à la rupture. On nommera /

c la moitié CM de l’intervalle des appuis; z la distance CD; x l’abscisse Bp; y l’ordonnée mp ;

/rabaissement BD du point B;

<0 l’angle que la tangente à la courbe du solide forme au point B avec l’horizon.

* aura la signification indiquée n° 55 , p aura la signification indiquée n° 82.

Les composantes du poids 2 P, représentant les efforts exercés sur les appuis M et M', sont respectivement

p!±î et P e -=-i;

et chaque partie BM, BM' du solide est fléchie de la même manière que si, étant encastrées en B, elles étaient sollicitées aux extrémités M et M' par ces composantes. On aura donc ici comme au u° 55 , pour la partie BM,

dx' e ‘ c

DE LA MÉCANIQUE, I re PARTIE. 1 87

dy P c+îf . x 1 1

di = ~ï ~ [( c—z)x - - J + tang. « ,

P e + îf, n x* a: 5 !

y =-.--^c-z )- — -gj + xtang.w,

f= 37 L +(C— z)tang. «.

On aura également pour la partie BM'

dy P c — z f, . a:’ 1

lhc~~i ~\( c+z ) x 7 J tan g-*>»

[( c +*)f— — ^tang.c, .

/- P (c — z)(c-J-zV , f— 7 - : 3e L — (c+z)tang. w .

/et tang. to devant avoir les mêmes valeurs dans ces équations , on trouvera , par l’élimination ,

tang-“=T- 3c » /=T-k-

277. Les équations des parties BM et BM' dé la courbe sont respectivement

y = T C -^rti( c — z)z*+t( c — z)*’— •?**],

[• — ï(c+z)za?+7(c-t-z)x’ — 7X 3 ].

On connaîtra l’ordonnée minimum en faisant dans la seconde de ces équations ^- = 0, ce qui donnera

x = c + Z — \Sc' y-\cz—\z' .

En appelant j-, , la valeur de y correspondante à cette valeur dex, la flèche de la courbe du solide sera f — y,. Le point B est celui où la courbure du solide est la plus grande , et où ce solide tend à se rompre : on le nommera point de rupture.

278. D’après cette dernière remarque, et conformément au n° 275 , les conditions de l’équilibre relatif à la rupture seront exprimées par l’équation

On le voit aussi en remarquant que p doit être égal au moment de l’une ou l’autre des forces agissant en M, M', pris par rapport au point de rupture B.

Équilibre d'une pièce posée sur deux appuis , et chargée sur une portion de sa longueur.

279. Le solide MM' (Fig. 47 )> posé sur deux appuis placés sur une même ligne horizontale, étant chargé, dans l’intervalle N N' seulement, d’un poids/; sur l’unité de longueur, on demande les conditions de l’équilibre. Supposant que le point B est au milieu de l’intervalle N N', on nommera

z la distance CD;

c la moitié CM de la distance des appuis;

c’ la moitié DE de l’intervalle dans lequel est placée la charge ;

x,y l’abscisse B/> et l’ordonnée mp;

/rabaissement BD ou MP du point B;

DE LA MECANIQUE, i" PARTIE. * 1 89

<■> l’angle que la tangente à la courbe au point B forme avec l’horizon ;

e et P auront les significations indiquées n° 276 .

Les composantes de la charge ipc' représentant les efforts exercés sur les appuis M et M' sont respectivement

et pc . — —

Chaque partie B M , B M' du solide est fléchie de la même manière que si , étant encastrée en B , elle était sollicitée dans un sens par les poids placés en BN , B N', et dans l’autre sens par les forces précédentes agissant en M, M'. Par conséquent on aura d’abord, pour tous les points compris entre B et N (voyez les n°* 56, 58 et 5g ),

pc' C- 4 -Z. -, P f c" / x*\

— + T )+ ,a ng.„, £)+*tang.<

et les deux dernières équations donneront , pour les valeurs qui conviennent au point N, en y faisant x=c ,

ü^.î±i[ ( c-zy-Ç\-iÇ + tu*.,

y =4 —[(<=- *)t- ÏH4‘ + < '“ n * “•

On aura ensuite pour tous les points compris entre N et M, en déterminant les constantes de manière que

LEÇONS SUE L APPLICATION djr

pour x=c' les valeurs de ~ et y soient égales aux précédentes ,

dx ' e c v n

dy pc' c-\-z[, , •r r ] p c' s

£ = T •— [(«-*)*— ;J - V 6 + tan S-

pc' c + z r. ^x' ar ’1 pfc n x c' k \

y-—— ,C-r-î4)+ ætan K“'

La dernière équation, en supposant x — c — z, donnera

~ pc' (c-+-z)(c — z) s nfc'Vc— z) c'H , , '

^=V— si- « L — 6 — ïïJ + ( C ~ z) tan «- “■

En répétant les mêmes opérations pour la portion BM' du solide, on trouvera »

^g (c+2)tang ...

et en éliminant entre ces deux équations , il vient

pc' (4c 1 — 4z’ — c")z

tan S"= £ r- ii — h — -•

. pc 1 r (2 c ' — 2 z 3 — c '' , )( c * — s ’)

280. On aura les équations des parties B N , NM de la courbe, en substituant dans les expressions précédentes de qui appartiennent respectivement à ces parties la valeur que l’on vient d’obtenir pour tang. w. Les expressions de y qui conviennent aux portions B N’, N'M' de la courbe sont semblables aux expressions qui se rapportent aux portions B N , NM: on les

DF. LA MECANIQUE, I™ PARTIE. lÿl

déduit de ces dernières en changeant c + z en c — z, et réciproquement. On connaîtra donc également la figure de la portion BM du solide. La flèche de la courbure se trouvera de la manière indiquée n° 277.

281. Le point B est celui dans lequel la courbure est la plus grande , et où le solide tend à se rompre. La condition de l’équilibre relatif à la rupture est exprimée, conformément au n° 275, par l’équation

282. Les exemples précédents suffisent pour indiquer comment on trouve les conditions d’équilibre dune pièce posée horizontalement sur deux appuis, et chargée d’une manière quelconque. Le point où elle tend à se rompre, et que l'on doit regarder comme le point d’encastrement, est toujours situé dans la verticale contenant le centre de gravité des poids dont cette pièce est chargée. Le point de rupture ayant été déterminé, aussi bien que les efforts exercés sur chaque point d’appui, on doit former autant d’équations différentielles du second ordre qu’il y a , de chaque côté du point de rupture , de parties pour lesquelles les conditions de la flexion ne peuvent s’exprimer par la même formule. Les constantes introduites par l’intégration se déterminent de manière que l’ordonnée et l’inclinaison de la tangente aient les mêmes valeurs dans le point commun à deux parties consécutives.

L’équation exprimant les conditions de l’équilibre à l’instant où la pièce est prête à se rompre , s’obtient en

égalant le moment de rupture p à la valeur de e qui

ig2 : LEÇONS sur l’application

appartient au point de rupture; c’est-à-dire au moment pris par rapport à ce point des forces agissant sur la pièce dans l’une ou l’autre des parties que ce point sépare.

Équilibre dune pie.ce chargée d’un poids, dont l’une des extrémités est encastrée et l’autre posée sur un appui.

283. La pièce AMM' (Fig. 48) encastrée horizontalement à l’extrémité A , supportée à l’extrémité M’ sur un appui placé sur la même ligne horizontale que le point A , étant chargée en M du poids n, on nommera

c la distance A B ; c' la distance A M' ;

II' l’effort exercé sur l’appui M'; t et p auront les significations indiquées n° 276.

On aura «n premier lieu, pour la portion AM de la pièce ,

On aura ensuite pour la portion MM', en déterminant les constantes de manière que , pour x—c, les

valeurs de et y soient égales à celles qui seraient

données par les équations précédentes.

ig3

,/ r > — Il (c æ),

' dx djr^ ' dx

=nf-n ■(✓*-!),

a84- Cette dernière expression de/- devant être nulle quand x — c', on aura

pour l’effort exercé sur le point d’appui M'. En substituant cette valeur dans les équations précédentes, on trouvera pour l’abscisse du point où l’ordonnée y est la plus grande

<-v/ëS);

et pour la valeur de cette plus grande ordonnée, ou de la flèche de courbure de la pièce ,