On a au point A

,p:=nc-n'c'=n ‘^- 3 "' + ^' -y

dx?

et au point M ,

dx 1

■nV = n

c{Zcc' — <?)

C’est au point A que la courbure est la plus grande , - i3

194 LKÇONS SUll I.’aPPMCATION

et que la pièce tend à se rompre. L’équilibre est exprimé à l’instant de la rupture par l’équation

e(c a — 3cc'-t- a c")

a86. Si l’on suppose le poids II placé au milieu de l’intervalle AM', on aura c' = a c ; et en écrivant 2 P au lieu de II , il viendra

pour l’effort exercé sur le point d’appui. L’abscisse du point où l’ordonnée est la plus grande sera

et la valeur de cette ordonnée,

En comparant cc résultat à celui du n° 56 , on voit que la flèche de courbure produite par le même poids est plus petite, dans le rapport de 1 à 1/5, qu’elle ne serait si les deux extrémités de la pièce étaient posées sur des appuis.

L’ordonnée du point milieu, où le poids est placé,

est— c’est-à-dire les -r# de ce qu’elle serait dans e 4 ^

le cas dont on vient de parler.

287. En supposant toujours lepoids II placé au milieu de l’intervalle AM' , la formule du n° a 85 deviendra

DE LA MÉCANIQUE, I re PARTIE. Ig5

Si les deux extrémités étaient posées sur deux appuis, on aurait p = Pc. Par conséquent lorsque l’une des extrémités est encastrée , la pièce , à force égale , peut supporter un poids plus grand dans le rapport de 4 à 3.

Équilibre d'une pièce dont les deux extrémités sont encastrées , et qui est chargée d’un poids.

288. On suppose la pièce AMM' (Fig. 49) chargée en M du poids II, encastrée horizontalement aux deux extrémités A et M' ; et l’on remarque que l’effet de l’encastrement en M' est de rendre horizontale en ce point la direction de la tangente à la courbe. Or on ne changera rien à l’état d’équilibre de la pièce AM’, si l’on suppose cet effet produit au moyen de ce que cette pièce, posée simplement sur un appui en M', est prolongée en M' M", et chargée à l’extrémité M" d’un poids dont la valeur a été convenablement déterminée. Cela posé , on nommera

c la distance AB, c‘ la distance A M', c" la distance A B” ,

IT l’effort exercé sur l’appui M' , irle poids suspendu à l’extrémité M", e et p auront les significations indiquées n° 276.

On aura en premier lieu pour la portion AM de la pièce,

e^=U(cx—jx^)— nUc'x—jX^ + nXdx—ïx'),

e , y = n (ic# 1 — T X 3 ) — n' (i cV — J x?) 4- n’(i C V — j x 3 ) ;

On a ensuite pour la portion MM', en déterminant les constantes de manière que , pour x=c , les valeurs dy

de ~ et y soient égales à celles qui seraient données

dx D

par les équations précédentes,

«3^=— n \c—x)+ n*(c*— *), c^=IHc’ — II' ( c'x — -ja;’) -+- n "(ex — ^æ 1 ),

g y =n (7 C 2 X— je 3 ) — n' ( CX ' — ix 3 ) + n"(v CX 1 — i X 3 ) .