Le coefficient — et l’ordonnée y devant être

nuis au point M' , c’est-à-dire quand x = c’, on a

o=ihc’— n' '-c'' + n"(c'c"—

O = n (t cV— j c 3 ) — n'? c ' 3 + if (ÿc h c"— - t c n ) ;

d’où l’on tire

* — 2ff'’+3e'c") „ c*(c' — c )

En mettant ces valeurs dans les formules précédentes, on connaîtra la figure de la pièce.

•iqo. Si l’on suppose le poids II placé au milieu de J’intervalle AM', on a e' = 2c, et

Eu substituant ces valeurs dans les équations précédentes, et écrivant 2 P au lieu de II, on aura pour déterminer la figure de la première moitié de la pièce ,

1)1? LA MÉCANIQUE, l" - PAIITIE.

On vérifie que les équations appartenant à la seconde moitié indiquent une figure symétrique à celle de la première moitié. L’ordonnée du milieu de la pièce , ou la flèche de courbure , est

et en comparant ce résultat à celui du n° 56 , on voit que cette flèche de courbure est 4 fois moindre lorsque les extrémités sont encastrées que lorsqu’elles sont posées sur des appuis.

291. En supposant toujours le poids n ou 2 P placé, au milieu de l’intervalle AM', la courbure est la plus grande possible aux deux extrémités et aii milieu de la piè<^, qui tend à se rompre en même temps en ces trois points. L’équilibre relatif à la rupture est exprimé par l’équation

ensorte que la pièce peut supporter un poids deux fois plus grand que celui qu’elle supporterait si les extrémités étaient simplement posées sur des appuis (a).

(a) Ce résultat est généralement admis par les savants, qui l’ont établi d’une autre manière; mais il est contredit par M. Barlowqui, dans son £ ss 11 y on the slrcngth and stress of timber, page l3â , subs-

ig8 leçons sur l’application

Équilibre d’une pièce supportée par trois ou un plus grand nombre de points d’appui.

29a. Quand une verge rigide chargée de poids est soutenue sur un nombre de points d’appui plus grand que 2 , les efforts que chacun de ces points d’appui peut supporter sont indéterminés entre certaines limites. Ces limites peuvent toujours être fixées par les principes de la statique. Mais si l’on suppose la verge élastique, l’indétermination cesse entièrement. On considérera seulement ici une des questions de ce genre les plus simples qui puissent être proposées.

On supposera la pièce MM' (Fig. 5 o) posée horizontalemeut sur trois points d’appui , placés , l’un au milieu A de la longueur de cette pièce, et les deux autres aux extrémités M, M'. Chaque moitié de la pièce est chargée au milieu N, N', d’un poids II, II'. Il s’agit de déterminer la figure affectée par la pièce, et les efforts exercés sur chaque point d’appui. On nommera

c la moitié AM ou AM' de la longueur de la pièce;

p, q, q' les efforts exercés en A, M, M';

titue la raison de 3 à 2 à celle de a à 1 . La proposition snr laquelle M. Barlow fonde son raisonnement , et qui est énoncée page n5 du même ouvrage, est inexacte et contraire à l’expérience. On peut remarquer qu’il est difficile , dans les expériences , de réaliser l’hypothèse de l’encastrement aux deux extrémités. Il faut , pour que l’on y parvienne , que la pièce soit prolongée de chaque côté sur une assez grande longueur. Les expressions de n' et n" indiquent effectivement que les efforts exercés sur les points fixes tendent à devenir infinis quand la longueur sur laquelle la pièce est prolongée devient nulle. On peut voir sur ce sujet les expériences rapportées dans le Traité 4“ mouvement des eaux ; Œuvres de Mariotte , tome II , page /j66.

u l’angle que fait avec l’axe Ax la tangente à la courbe au point A

s et p auront les significations indiquées n° 276.

Les principes de la statique exigeant 1° que la somme des poids II , II' soit égale à la somme des efforts exercés sur les points d’appui , que la somme des moments des forces, pris par rapport à un point quelconque, par exemple au point A, soit nulle; on a d’abord les deux équations

n + IÏ=p+ q + q, Il — IÏ=a {q — q).

293. En regardant ensuite la pièce comme encastrée en A , on aura pour la portion AN

*3ï = n ( £ T-?)-î( cic -?) +,tan S"’

On aura ensuite pour la portion NM, en déterminant les constantes de manière que, pour x -=— , les dv

valeurs de et y soient égales à celles qui seraient données par les équations pécédentes, d'y t \

dr / x*\ e 1

•3É=— -jJ + n 8 «tang.u,

*7 =" + ( n ï +'taiig.„)x-np-

200 LEÇONS SUR l’a.PPLICATION

Les équations qui conviendraient aux parties A N' et N'M' de la pièce se déduiront des précédentes, en y écrivant II' au lieu de II, q' au lieu de q, et changeant le signe de tang. u. En remarquant ensuite que les équations appartenant aux parties N Met N'M' doivent donner^=:o quand on suppose x=c, on aura les deux équations

0 = — ? 3+n^- + étang. «.

o=— çr'i. + n'^ — *tang.w.

aq4- Au moyen de ees équations, et de celles du u° 29a , on trouvera

n— ii' c 1

tang.w — — ; — • ,

e 3a 22 ü + aall' 3a ’ i3n— 3n'

, -3n+i3ir ?=— 3^ *

et l’on connaîtra la figure de la pièce en substituant ces valeurs dans les équations précédentes. On voit que le point d’appui A supporte seul les ^ à très peu près de la somme des poids dont la pièce est chargée. Les efforts exercés sur les points d’appui sont indépendants de e, en sorte qu’ils demeurent les mêmes pour des pièces plus ou moins flexibles.

295. Le, point A est celui où la courbure de la pièce est la plus grande , et où elle tend à se rompre. En

égalant le moment de rupture p à la valeur de * -j— qui

DE LA MÉCANIQUE, I re PARTIE, convient à ce point , on a