Si l’on suppose égaux les poids ü et II' , il viendra

tang.w o, p- jg » q q pq-

297. En adoptant la même supposition , l’équilibre relatif à la rupture est exprimé par l’équation

Chaque moitié de la pièce est alors dans le même cas que si elle était encastrée horizontalement à une extrémité et supportée à l’autre. Le résultat que l’on vient d’obtenir s’accorde effectivement, avec celui du n° 287 , en écrivant ici 2 P au lieu de n, et 2 eau lieu de c.

Remarque sur l’usage qu’on doit faire des résultats précédents dans les applications.

298. Les résultats exposés dans cet article serviront à apprécier les flexions des pièces chargées horizontalement. On substituera dans les formules, à la place de e, les valeurs du moment d’élasticité données dans les n M 5o et suivants. Par exemple, si la section de la

pièce est rectangulaire , on écrira E à la place

de e. La valeur de E se conclut des expériences rapportées n“63 et suivants. On connaîtra ainsi le degré de la flexion de la pièce, en raison des dimensions de la section.

Ces résultats serviront également à apprécier les charges qui pourraient causer la rupture des pièces , ou les plus grandes charges que l’on puisse faire supporter à ces pièces dans les constructions. On substituera à la place de p les valeurs du moment de rupture données dans les n“ 76 et suivants. Par exemple , si la section de la

pièce est rectangulaire , on écrira R^- à la place de p.

Quand on voudra connaître les charges capables de causer la rupture , on attribuera à R les valeurs déduites des expériences rapportées dans les n M 91 et suivants; et quand on voudra connaître les plus grandes charges que l’on puisse faire supporter aux pièces dans les constructions, on emploira les valeurs de R' indiquées dans les n os 124, 126 et 129.

Ces remarques s’appliquent également aux résultats contenus dans les articles suivants.

ARTICLE IL

De la résistance d'une pièce prismatique posée verticalement et chargée sur V extrémité supérieure.

299. On suppose une pièce AM (Fig. 5 i ) dont l’extrémité inférieure A est posée sur un plan horizontal fixe. L’extrémité supérieure M est placée dans la même verticale que l’extrémité inférieure , et chargée d’un poids Q. Il s’agit de trouver les conditions de la flexion de la pièce causée par l’action de ce poids. On nommera

c la distance A M des extrémités ,

s la longueur A m M de la pièce ,

x , y l’abscisse A p et l’ordonnée p m d’un point quelconque de la courbe , e et p auront les valeurs indiquées n° 276.

L’équation d’équilibre est

dont l’intégrale est

jr—f» in. y/2-*,

f étant une constante arbitraire. Cette constante représente évidemment la plus grande ordonnée de la courbe , ou la flèche de courbure , qui est supposée très-petite.

3 oo. On doit avoir y=o quand x = c. Il est donc nécessaire, si /'n’est pas nulle, que

d’où Q=iy\- % ,

i étant un nombre entier quelconque, et w le rapport de la circonférence au diamètre; ce qui détermine la valeur du poids Q qui peut maintenir la pièce fléchie. Cette valeur est réciproque au quarré de la longueur de la pièce.

3 oi. En substituant la valeur de Q dans l’équation précédente, où la flèche f demeure indéterminée, on a

7 =/sin.i*ï,

[-cm

204 leçons suh l’application

302. Si l’on donne successivement à i les valeurs entières i, 2, 3, etc., la courbe représentée par l’équation précédente affectera diverses figures. La fig. 5i

répond au cas où i=i et Q=tc’-L. La fig. 5a répond

au cas où i—i et Q = 4 tc2 -^ : une pièce affecterait

cette figure si le milieu N était maintenu dans la ligne verticale qui en contient les deux extrémités. La fig. 53

répond au cas où i = 3 et Q = 9ir 5 £; une pièce affecterait cette figure si les points situés au tiers et aux deux jtiers de la longueur étaient maintenus dans la verticale qui en contient les extrémités. Et ainsi de suite.

303. Les conditions d’équilibre relatives à la rupture s’expriment, conformément au n° 275, en éga- -

lant p à la valeur maximum de e -z-J- : on a donc ici ' dx'

P =Q/, ou p s* 1 **£•/.

La flèche de courbure /"demeurant indéterminée, on ne peut déduire de ces équations les conditions de la rupture. On est seulement assuré que le poids qui causera la rupture surpassera la valeur de Q du n° 3oo.

Si la valeur de f déduite de l’équation précédente,

est une très-petite quantité, le poids qui causera la rupture surpassera très-peu la valeur dont on vient de parler. 11 la surpassera d’autant plus que cette valeur de /"sera plus grande. Les mêmes considérations s’ap-

DE LA MÉCANIQUE, f* PARTIE. 205

pliquent aux cas d'équilibre examinés dans les numéros suivants.

Équilibre d'une pièce chargée verticalement , lorsque l'extrémité inférieure est encastrée , et F extrémité supérieure libre.

3o4- Dans ce cas (Fig. 54), en conservant les dénominations du n° 299 , on a

/représentant l’ordonnée BM du point extrême. L’intégrale est

J=/(i — cos. v/?- Æ ')-