C LL
En supposant x—a, et désignant toujours par h , f les déplacements horizontaux et verticaux du point extrême M, on aura, en se bornant aux deux premiers termes des séries,
ab 3 \
TTyJ»
375. La formule du n° 373 donnera ici, a très-peu près, pour la tension exercée en un point quelconque de la courbe,
376. Considérons une portion de courbe MAM' ( Fig. 76 ), formée de deux parties égales de figure parabolique, supportée verticalement sur deux appuis qui ne permettent pas aux extrémités de s’écarter, et chargée de poids répartis de la manière indiquée n° 374. Chaque moitié de la pièce est dans le même état d’équilibre que si cette moitié, étant encastrée horizontalement en A, était sollicitée par les poids distribués sur l’intervalle AM ou AM'; et de plus par une force verticale pa agissant de bas en haut au point
extrême M ou M', et par une certaine force horizontale Q agissant au même point. Or, supposant une pièce courbe sollicitée à la fois par des poids répartis sur sa longueur, et par des forces appliquées à l’extrémité, on connaîtra les déplacements des points de cette pièce en ajoutant les résultats obtenus n°* 363 et 37 a. Par conséquent, ajoutant ici les résultats des n“ 366 et 374 , on aurait pour les déplacements des points extrêmes
1 6 b* \ io5a J
+ P -( Sa' b
Za 3 b s V ao
ab 5 \
Mais dans le cas dont il s’agit on a P= — pa, et Q est déterminé parla condition h— o. Les pressions horizontales exercées contre les appuis sont donc
et en mettant cette valeur dans l’expression de f, on trouve f=o. Ces résultats s’accordent avec ceux des n“ 356 et 358. La figure supposée à la pièce courbe étant ici celle qui convient à l’équilibre, on doit trouver une valeur nulle pour l’abaissement du sommet.
377 . Si la pièce MAM' (Fig. 76 ) , supposée toujours de figure parabolique, était chargée à la fois du poids apa, réparti sur la longueur comme on vient
DE LA MÉCANIQUE, i” PARTIE. *55
de le supposer, et du poids a II suspendu au sommet A , la poussée ou pression horizontale exercée contre les appuis serait la somme de la valeur précédente de Q, et de la valeur trouvée n° 36 g, c’est-àdire
L’abaissement du sommet serait exprimé par la valeur de /du n° 369.
378. La pression supportée par les différentes parties de la pièce, dans le sens de la longueur, est représentée ici par la somme des valeurs de T données n 0 ’ 357 et 370, qui est
( a5 a b a bx a5 bx*\ 3a b a8a 16a 5 )
Si la quantité &l\pa — a 5 n est positive, la plus grande valeur de la pression a lieu aux extrémités MouM'; elle est
l\pb -f- n ^
iiaa
$i cette quantité est négative, la plus grande valeur de la pression a lieu au point dont l’abscisse est i6n
a5 II — 64p&
Usage des résultats précédents dans les applications.
379. Les résultats précédents donneront les moyens de déterminer la limite des poids dont on peut charger une pièce courbe dans les divers cas d’équilibre que l’on a considérés.
a56 LEÇONS SDR l’application
Lorsque la figure de la pièce est celle qui convient à l’équilibre des poids dont elle est chargée , cette pièce est simplement pressée dans le sens de la longueur; et les dimensions de la section transversale étant ordinairement fort petites par rapport à la longueur , on peut supposer cette pression répartie également sur toute l’étendue de la section transversale. Par conséquent, ayant calculé la plus grande valeur de la pression, représentée par T dans les n os 34a et suivants, désignant par <■> l’aire de la section transversale de la pièce, et (comme dans les n os ia4 et suivants) par R' le plus grand effort que l’on veut faire supporter aux fibres sur une étendue égale à l’unité superficielle, on posera l’équation
d’après laquelle on pourra établir le rapport convenable entre la charge qui produit la pression et les dimensions de la pièce.
38o. Lorsque la figure de la pièce n’est point celle qui convient à l’équilibre, et que cette pièce fléchit par l’action des poids dont elle est chargée , on peut déterminer la limite de ces poids d’une manière semblable à ce qu’on a vu n° 3aa. Représentons par u la section transversale de la pièce , et par v' la distance à l’axe d’équilibre des fibres qui subissent la plus grande compression. En vertu de la pression T, dont les valeurs ont été données dans les n M 365 et suivants, les fibres sont d’abord comprimées, dans toute l’étendue de la section, d’une fraction de leur longueur égale
à g-. De plus, par l’effet de la flexion, les fibrés ex-
DE LA MÉCANIQUE, I" PABTIE. 2 5j
trèmes sont comprimées d’une fraction de leur longueur égale à v' ^ comme on le voit facile-
ment par les n OÏ /| 7 et 36a. Par conséquent, R' désignant le plus grand effort que l’on veut faire supporter aux fibres sur l’unité superficielle, on posera l’équation
R' T ,d< p ' — dy
ET~ + V Ts ’
qui fera connaître la limite cherchée. On doit remarquer que la valeur de la quantité v' ^ don-
née par les formules précédentes, se trouvera positive ou négative suivant que, dans le point auquel cette valeur appartient, la flexion aura augmenté ou diminué l’angle formé par la normale de la courbe avec l’axe vertical des y. Mais on ne doit pas avoir égard ici au signe de cette quantité, et on doit en ajouter la valeur absolue
à la valeur absolue de On se rappellera d’ailleurs
que T a été supposé positif quand il représente une pression ; et par conséquent , lorsque sa valeur se trouvera négative, cela indiquera que la pièce est étendue, et non comprimée. Si la section transversale de cette pièce ne peut être partagée en deux parties symétriques par un axe perpendiculaire au plan de la flexion, v 1 doit représenter la distance à l’axe d’équilibre ( déterminé conformément au n° 4^ ) de la fibre qui est le plus comprimée, si T est positif; et de la
fibre qui est le plus étendue, si T est négatif. Enfin,
la somme des valeurs absolues des quantités et
v' . ^9 sera donnée en fonction de l’abscisse x ; d s
et il est évident que l’on doit attribuer à x dans cette
fonction !a valeur qui la rendra la plus grande possible
dans toute l’étendue de la courbe.
38 1. Considérons, par exemple, le cas du n° 36g, où une pièce courbe de figuré parabolique , posée verticalement sur deux appuis qui ne permettent pas aux extrémités de s’écarter l’une de l’autre, est chargée du poids a n suspendu au sommet. On a , par le n° 370,
T Il /25a b zbx a5 bx‘‘\
Eu Ew\3a£ 28a~^~ a % 1 6a 3 J
Le n° 363 donne
ds £
où l’on doit remplacer P par — n, et Q par la valeur donnée n° 36g : on aura donc
, rfy'--rfT 2 » , nr 7 a
v ds e L 32 28a \3aa
La valeur de T est positive dans toute l’étendue de la courbe , en sorte que la pièce est partout comprimée
dans le sens de la longueur. La valeur de v' d < * > - ^
est d’abord négative , devient ensuite positive , et se réduit à zéro quand x=a. Saus avoir égard au signe de cette quantité, on en ajoutera la valeur à celle de
et réglant les valeurs de v' et de e conformément Eu’ &
à ce qui a été dit n° 38o, on déterminera n de manière que, pour toutes les valeurs de x comprises entre o et a,
la somme de ces deux valeurs ne surpasse point —
38a. Le cas du n° 376, où une pièce courbe semblable est chargée du poids 2 pa, réparti sur la longueur de cette pièce de la manière indiquée n° 374 ^ est un des cas d’éqnilibre mentionnés n° 37g.
DE LA MÉCANIQUE, I rc PARTIE. 2 5g
383. Si, comme on l’a supposé n" 377, la pièce de figure parabolique, outre le poids -xpa réparti sur sa longueur, supportait encore le poids 2 n placé au sommet, il faudrait employer la valeur de T donnée dans le n° 378 , et l’on aurait*
\- pbx ' 1 n(
b j 2 bx
Eu Ew
L ib
^3 2 fi
Mais comme le poids 2 II produit seul la flexion de la pièce, la valeur de v' ^ — sera * t même qu’au
n° 38 1 , et devrait être employée de la même manière.
De l effet des pressions ou des tensions exercées dans le sens de la longueur des pièces courbes , pour les accourcie ou les allonger , et des changements de figure qui en résultent.
384- On a indiqué, dans les cas d’équilibre considérés ci-dessus, les valeurs des pressions exercées dans le sens de la longueur des éléments des pièces courbes. Ces pressions causent une diminution dans la longueur de ces éléments, longueur supposée invariable dans le n° 36a et dans les numéros suivants; et cette diminution de longueur concourt avec la flexibilité de la pièce à en changer la figure. Comme il ne s’agit ici que de changements très-petits, on peut les consi- - dérer successivement, calculer à part l’effet de chaque changement, et prendre la somme des résultats que l’on aura obtenus.
En conservant les dénominations du 11 0 36a , et nommant s' la longueur de l’arc A ml (Fig. 73), que l’on suppose maintenant différente de la longueur de
a6o • leçons sur l'application
l’arc Am, on aura cl s — ds pour l’accourcissement
de l’élément placé au point m , résultant de l’effort
ds — ds'
n — * P our
exercé dans le sens de cet élément ; et
la fraction exprimant la proportion de cet accourcissement. Par conséquent, désignant par w l’aire de la section transversale de la pièce, et T représentant, comme ci-dessus, la pression exercée dans le sens de la longueur de cette pièce au point rn, on a
si— = r ;
d’où
- Tv/-+Gcr>
équation qui fera connaître les changements de longueur des parties de la pièce courbe. La ligure de cette pièce demeurant d’ailleurs à fort peu près la même , il sera facile d’en conclure les déplacements des points qui résultent de ces changements.
385 . Considérons, par exemple, le cas du n° 369, où une pièce courbe de figure parabolique, posée verticalement sur deux appuis, est chargée du poids an
suspendu au sommet. En remplaçant ^ par "iÏJE. f
T par la valeur du n° 370 , et se bornant aux termes
de l’ordre ^ , l’équation précédente deviendra
, Il Cj / 25 a b 2 bx\
s ~ s ~^J dx \vn>~^a + ~d r )' 1
ou
, D ^ 25 ax bx bs?\
Si l’on désigne par c la longueur totale des portions
FbTtîcïogle
DE LA MÉCANIQUE, I" PARTIE. a6l
de courbe AM ou AM' ( fig. 74 ), et par c' la longueur que ces portions de courbe acquièrent par l’effet de la pression , on aura , en faisant dans l’équation précédente x — a ,
C ° Eu 3 2 b V + iy5n’J
pour l’accourcissement résultant de l’action du poids
386. Si la même pièce courbe, chargée du poids 2 pa réparti sur sa longueur , est dans l’état d’équilibre ' considéré n° 358 , on doit remplacer T par l’expression du n° 357 . L’équation du n° 384 devient alors
s '— P *' fdx(i+ * b ' x "\ E«o 2 bJ aX V+ a 4 )'
ou
* ~f^>ibK X+ 3 a‘ J’
d’où l’on tire
pour l’accourcissement total de chaque moitié de la pièce.
387 . Supposant enfin , comme dans le n° 377 , la même pièce chargée à la fois du poids ipa réparti sur sa longueur, et du poids 2 H suspendu au sommet , l’accourcissement sera la somme de ceux qui viennent d’être calculés. On aura donc
f2$ax bx b x*\
0 <y — * 1 il/
Eu 2b V
Eu 2 b \
4 b"\ 1+ Jï)
+ Eo»
ü 6 ü LEÇONS SUR L’APPLICATION
388. L’abaissement du sommet de la courbe résultant des accourcissements, se calculera de la manière suivante. Considérant toujours une pièce de figure parabolique, on a (a)
*=■[' + £Ct)’
On déduit de la seconde équation
db 'Sa r , 3-9 g-g __ 3 j 54 fc-a y f ] .
4 ^ L io a iy5 \ a J ‘J ’
d’où il suit que c — c' étant une petite variation de la longueur c de la moitié de la courbe, et b — b' la variation correspondante de la flèche b, on a, à fort peu près, en se bornant toujours aux termes de l’ordre du
quarre de —,
Expériences sur la résistance des pièces courbes.
389 . D’après les expériences de M. Duleau ( b ), une pièce de fer forgé ayant o m ,o6 de largeur et o^oa de hauteur, a été courbée à froid, suivant un arc de cercle de 6", 3a de corde et o “,7 de flèche. Cette pièce étant posée verticalement entre deux appuis qui ne
(a) Mémoire sur les ponts suspendus, page 73.
(b) Essai théorique et expérimental sur la résistance du fer forgé, page 44 .
DE LA MÉCANIQUE, l v PARTIE. i63
permettaient pas aux extrémités de s’écarter (fig. 77)', l’action de son propre poids 11’en changeait pas sensiblement la figure.
La flèche de l’arc étant de o“,709, et la pièce étant successivement chargée au milieu (fig. de 20, 120, 220, 260 et 28 o ui -, ce milieu s’est abaissé successivement de 4 » 34 , 68, 89 et 11a millimètres. La pièce a totalement fléchi sous un poids de 288 ku- .
Dans une autre expérience, la flèche de l’arc étant de o m ,694, et la pièce étant successivement chargée au milieu de 5 o, 100, i 5 o, 200 et 250 ^'-, ce milieu s’est abaissé successivement de 10, 22, 39, et 92 millimètres. Les poids étant ôtés, le sommet de la courbe est resté de o“,024 plus bas qu’il n’était avant l’expérience. La pièce a fléchi sous un poids de 270^' qui n’avait pas été mis tout-à-fait au milieu.
La même pièce était prête à fléchir sous deux poids de 280 et 285 ka ‘, placés de chaque côté au £ de la longueur à compter des extrémités.
La même pièce ayant été chargée successivement au -j de la longueur, à partir de l’une des extrémités, ‘ d’un poids (fe 20 et de îoo^ 1- , et la flèche primitive étant de o m ,696, le point chargé s’est abaissé de 8 et de 45 millimètres. Le sommet de la courbe s’est d’abord un peu soulevé, puis s’est abaissé quand la charge a atteint 1 5 o kil - La pièce a fléchi sous un poids de 177“*
LEÇONS SUH L’APPLICATION
ARTICLE VII
Des pièces de diverses figures employées dans les constructions. Des pièces formées de plusieurs parties assujetties entre elles.
390. On a supposé jusqu’ici la figure des pièces prismatique. La plupart des pièces employées dans les constructions en bois ont effectivement cette figure; mais dans les constructions en fer, et surtout dans celles en fer fondu, on adopte des figures appropriées à la nature des efforts que les pièces supportent. On obtient de cette matière une résistance égale avec un moindre volume de matière, et par conséquent avec une moindre dépense.
C’est principalement d’après la considération de la résistance à la rupture que la figure d’une pièce doit être déterminée. En effet, il convient de régler la force des pièces de manière que les extensions et compressions auxquelles les parties sont exposées ne puissent dépasser une limite donnée. Les formules relatives à la résistance à la rupture s’appliquent à cette détermination : il suffit de fixer convenablement, conformément à ce qu’on a vu dans l’article VII de la i re section , la valeur de la constante qui représente le plus grand effort que les fibres doivent supporter sur l’unité superficielle.
Le prisme rectangulaire est la figure la plus simple que l’on puisse donner à une pièce. Cette figure peut être modifiée, soit en changeant la section transversale sans que la pièce cesse d’être prismatique , soit
, DE LA MÉCANIQUE , l" PARTIE. a65
en donnant à la section des dimensions différentes dans les divers points de la longueur de la pièce.
De la figure de la section transversale.
391 . Considérons d’abord une pièce soumise à des efforts qui s’exercent perpendiculairement à sa longueur, de manière que le sens dans lequel cette pièce tend à fléchir soit déterminé; par exemple, une pièce posée horizontalement, et supportant des poids. En donnant à la section transversale la figure d’un rectangle dont les côtés sont horizontaux et verticaux ; nommant
a la largeur de la section ,
b la hauteur,
E et R ayant les significations indiquées n°*47 et 75 ; le moment d’élasticité sera, d’après le n° 5i ,
ia
et le moment de la résistance à la rupture, d’après le n° 77 ,
L’aire de la section transversale demeurant la même , la résistance à la rupture augmente proportionnellement à la hauteur b. Mais on ne peut, en général, augmenter b et diminuer a au-delà d’un certain terme, parce que la pièce n’aurait pas de stabilité, et parce qu’elle présenterait trop peu de résistance dans le sens horizontal.
392 . L’aiée de la section transversale et la résistance demeurant les mêmes, on procure à la pièce plus de
stabilité, et plus de résistance dans le sens horizontal , en donnant à la section la forme d’un tuyau rectangulaire (Fig. 77 ), ou celle de deux T opposés l’uu à l’autre ( Fig. 78 ). Nommant
a la largeur extérieure AB;
a! la largeur intérieure DE (Fig. 77), ou la somme des largeurs DE, de (Fig. 78); b la hauteur extérieure AC; b' la hauteur intérieure DF;
le moment d’élasticité sera
p ab’ — a'b' 3 '
et le momént de la résistance à la rupture
aP-a'b' 3
Pour qu’une section rectangulaire offrit , à surface égale, la même résistance à la rupture, la largeur te la hauteur devraient être respectivement
{ab—a'b'Yb . ab 3 — a' V 3 ab 3 — a'b' 3 6 {ab—a'b')b
Les sections représentées fig. 77 et 78 paraissent être, dans le cas dont il s’agit, les plus convenables qu’il soit possible d’adopter. La première semble devoir offrir plus de solidité que la seconde ; mais , lorsque les pièces sont faites en fer fondu, il est difficile d’obtenir sans défauts les tuyaux rectangulaires ou circulaires (a).
( a ) Dans des pièces semblables en fer fondu , il faut donner des dimensions peu différentes aux diverses parties, afin que, refroidis -
DE LA MÉCANIQUE, i" PARTIE. 267
393. Lorsqu’une pièce placée horizontalement, et supportant des poids, doit présenter successivement ses différentes faces à l’action de la charge, ce qui a lieu, par exemple, pour les axes horizontaux dans les machines de rotation, il est convenable que la ligure de la section transversale soit telle que la résistance de la pièce à la flexion soit la même dans tous les sens. Un cylindre plein et un tuyau circulaire offrent évidemment cette propriété. D’après les n°* 5 a et 317, un prisme plein, à base quarrée, et un tuyau quarré, l’offrent également ( a ). Il eh est de même des sections représentées figures 79 et 80. En appelant dans la première
a la dimension extérieure AB ou CD,
*ant en même temps, elles ne tendent pas à se désunir par l’effet de la contraction de la fonte.
(a) H est question de la figure la plus convenable des axes de rotation dans les Practical essays on mill tvork , par Buchanan , avec notes deM. T.Tredgold. 182 3 , tomel, page 26a; et dans le Practical essay on the strength of castiron , 1824 , page 5 g. M. Tredgold parait penser que le cercle est la seule figure qui donne aux axes la propriété d’offrir dans tons les sens la même résistance à la flexion. L’erreur de cet ingénieur provient de ce qu’il regarde la résistance à la flexion comme étant mesurée par l’expression qui mesure la résistance à la rupture. On avait déjà remarqué qu’une section quarrée donnait la même résistance à la flexion dans le sens des côtés et dans le sens des diagonales. On voit ici que cette section donne la même résistance dans tous les sens, et qu'il en est de même d’un grand nombre de figures, que l’on peut former en combinant d’une manière symétrique le cercle et le quarré. Il en résulte que si les axes renforcés par des côtes saillantes, que les Anglais nomment axes emplumés ( feathered shafls) , réussissent moins bien que les axes quarrés ou cylindriques pleins , cela provient probablement de ce qu’ils ne sont pas aussi bien disposés pour résister à la torsion , et non pas des inégalités de la flexion de ces axes.
, i 68 leçons sor l’application
a l’épaisseur A a, Ce de chacun des rectangles qui se croisent à angles droits,
le moment d’élasticité est, dans toutes les directions,
a 3 a + a a 3 — a 4 la
Le moment de rupture, si la pièce fléchissait dans le sens des côtés des rectangles, serait
et si la pièce fléchissait dans le sens de la diagonale du quarré dans lequel elle est inscrite,
V /~â(a 3 g -ha* 3 — a 4 ) 6 (a + a)
3 g/j. En appelant, dans la fig. 80,
a la dimension extérieure AB ou CD; a' la dimension A' B' ou A' G ; a l’épaisseur Aa, Ce des rectangles placés en saillie sur le quarré;
le moment d’élasticité est, dans toutes les directions.
Le moment de rupture, si la pièce fléchissait dans le sens des côtés , serait
et si la pièce fléchissait dans le sens de la diagonale,
1 )K LA MECANIQUE, l re PARTIE. 269
395. Considérons maintenant une pièce posée verticalement, et chargée sur l’extrémité supérieure. Le sens de la flexion étant ici indéterminé, il convient de donner à la section transversale la figure d’un tuyau rond ou quarré, ou bien l’une des figures symétriques indiquées n° 3 g 3 . Cela suppose toutefois que l’on soit assuré que l’effort s’exercera toujours exactement dans la direction de l’axe de la pièce. Il arrive quelquefois, par exemple pour les pièces inclinées servant d’arc-buttants , que l’effort tend à s’exercer sur une des faces de la pièce, et non pas dans la direction de l’axe. Dans ce cas, on peut adopter l’une des sections représentées fig. 81 et 82, dont la première a été fréquemment employée.
Nommons
a la largeur AB du rectangle daps lequel la figure est inscrite;
b la hauteur CD de ce rectangle ;
« l’épaisseur CF de la côte ;
6 l’épaisseur A E de la face ;
z la distance DM à la face AB de l’axe d’équilibre contenant les fibres dont la longueur ne varie pas lors de la flexion.
Pour connaître la valeur du moment d’élasticité de la section dont il s’agit, il faut d’abord déterminer la situation de l’axe d’équilibre, conformément aux u°» 4® et 5 o. La condition énoncée dans le n° 4 ® donnera ici >■ i
d’où
a z ' — (et — «) (z — ë )’= a (b —z)\
1 — aë*-+- a &*
Z 2 aë — txè-f-
ÏJO LEÇONS SUR l’ APPLICATION
L’expression du moment d’élasticité, d’après la formule du n° 5o, sera
e=|[<ZZ 3 — (a — a)(z — ê ) 3 -+-a(Ù — z) 3 ],
formule où l’on devra substituer pour z la valeur précédente.
D’après le n° 76, et en remarquant que la distance désignée par v' dans ce numéro est ici CM ou b — z, on aura pour l’expression du moment de rupture
R az 3 — (a — a)(z — ë)’-+-a(è — z) 5 ? 3 b — z
De la figure de la section longitudinale.
3g6. Lorsqu’une pièce est prismatique, il y a généralement un des points de la longueur de cette pièce dans lequel elle est plus exposée à rompre que dans tout autre. Si la résistance est suffisante dans ce point, la pièce est, partout ailleurs, plus forte qu’il n’est nécessaire. On peut déterminer la figure d’une pièce de manière qu’elle présente partout une force suffisante, et nulle part une force excédante : les pièces dont la figure est déterminée de cette manière ont été nommées solides d'égale résistance. Il suffit de donner quelques exemples des recherches de ce genre, qui n’offrent aucune difficulté.
Considérons un solide encastré horizontalement à une extrémité (Fig. 83), 'chargé à l’autre du poids P, dont les faces latérales sont formées par deux plans verticaux parallèles, et la face supérieure par un plan horizontal. Nommant v
a la largeur du solide ;
b la hauteur AM à l’extrémité encastrée; c la longueur AB;
x, v l’abscisse B/> et l’ordonnée prn de la courbe BM formant la face inférieure du solide ;
R ayant la signification indiquée n° 75 ;
on aura d’abord, pour déterminer la hauteur du solide en AM,
R~ = Pc, d’où ù = i/ÿÏ£.
On aura ensuite, pour déterminer la figure de la courbe B rn M ,
Px, d’où r v 1 = — :
* tr‘ :i 'f
i u* fi
cette courbe est une parabole dont l’axe est B A.
397. On peut demander la figure affectée, par le solide ABM fléchissant sous l’action du poids P. On a ici, pour la valeur du moment d’élasticité appartenant à
l’une quelconque des sections/? m, e = E = E — "
Ia iac T ^
L’équation d’équilibre est donc, en désignant comme au n° 55 par y l’ordonnée de la courbe affectée par le solide,
AL
E aox‘ ay n
-^ = PÆ >
