XJ
d’où l’on tire
f il
dx'
i ’l — Pa 4 c Ygj-
dx E aP \ J ’
if
V Ci
Y L fl
P »4c T Ë ab 1
Cette valeur de f , ou de l'abaissement du point extrême B , est double de celle qui aurait lieu si toutes les sections du' solide avaient une hauteur égale à b.
398 . En supposant le solide chargé d’un poids distribué uniformément sur la longueur ( Fig. 8/j ) $ conservant les dénominations précédentes, et appelant
p le
poids porté par l’unité de
longueur,
on a
R ab 1 R 6
= yPC.^, d’où b z
=cV /!5- '
puis
- = p x . - , d’où
La face inférieure du solide est plane.
399 . Le solide étant seulement chargé de son propre poids (Fig. 85), et nommant
p le poids de l’unité de volume du solide; x l’abscisse B p, à laquelle répond l’ordonnée v; x' l’abscisse B p' d’un point quelconque ni , compris entre B et m, à laquelle répond l’ordonnée v' ; , .
on aura
Différentiant deux fois de suite par rapport à x,
J2iflüizejlby Çaogle
DE LA MÉCANIQUE, i" PARTIE.
il vient
PJ dx '“=wiü’P' v =ë
6 * in^'
équation dont l’intégrale est
px
la courbe BM est une parabole dont l’axe est Bu.
On résout facilement les mêmes questions dans le cas où les sections transversales du solide sont toutes des cercles ayant leurs centres sur une même droite horizontale; quand ces sections sont toutes des rectangles semblables; quand la loi de leurs largeurs ou hauteurs est donnée; etc.
4oo.Si l’on veut rechercher, comme on a fait n° 397 , la courbure qu’affecteraient les solides considérés dans les deux numéros précédents , en fléchissant sous le poids dont ils sont chargés, on trouve des équations transcendantes , donnant des valeurs infinies pour les ordonnées des points extrêmes B. Ces résultats ne peuvent être admis , puisque toutes les recherches dont on s’occupe ici sont fondées sur la supposition d’une flexion très-petite, faite n° 55. On doit les regarder comme indiquant l’impossibilité évidente d’exécuter des solides, à l’extrémité desquels les faces supérieure et inférieure sont tangentes l’une à l’autre.
4oi . Considérons un solide posé horizontalement sur deux appuis, et chargé en M d’un poids a P (Fig. 86). Nommant
a la largeur du solide ;
b la hauteur AM, au point où le poids est suspendu;
374 LEÇONS SLR l’aPPLICATION
c la moitié ÇB de l’intervalle des appuis; z la distance AC; on aura
d’où b — t/foil' ;
Roc
et les deux portions de courbe BM, B'M' appartiendront à deux paraboles dont l’axe se confond avec la ligne BBI.
4oa. Si l’on suppose que le poids a P peut être suspendu en un point quelconque de l’intervalle BB', et si l’on veut que le solide résiste toujours à l’action de ce poids, l’ordonnée de la courbe de la face supérieure devra satisfaire à l'expression précédente de b. Cette expression représente une ellipse, ayant pour
demi petit axe ; et coinme l’ellipse enveloppe
les courbes paraboliques qui terminent lesolide lorsque l’on donne au poids des situations déterminées, ce solide, si l’on adopte cette courbe, offrira un excès de résistance partout ailleurs qu’au point de suspension du poids.
403. Lorsque le solide posé horizontalement sur deux appuis est chargé de poids distribués uniformément sur sa longueur, il doit être terminé en dessus par deux faces planes ( Fig. 87 ); l’épaisseur au milieu CM est donnée par l’expression de b du n° 398.
404. Lorsque le solide posé horizontalement sur deux appuis est chargé seulement de son propre poids, il doit être terminé en dessus par deux portions égales de parabole (Fig. 88 ), dont les axes sont les lignes verticales passant par les points B, B’. L’épaisseur au mi-
DE LA MÉCANIQUE, l" PARTIE.
lieu CM est égale à p étant le poids de l’unité
de volume du solide, et c la moitié C B de l’intervalle des appuis.
4o5. Considérons encore un solide posé verticalement ( Fig. 89 ) , et chargé d’un poids Q sur l’extrémité supérieure, en admettant que toutes les sections transversales de ce solide soient des cercles. Nommons
c la demi-longueur AC ou BC du solide; x,y l’abscisse Cp et l’ordonnée mp de la courbe affectée par l’axe du solide; f la flèche CM de cette courbe; r le rayon de la section transversale en m.
Supposant que le solide ne prenne qu’une petite courbure à l’instant où il est prêta se rompre, on peut simplifier la question en admettant que cette courbure se confond avec un arc de parabole, ayant pour équation
L’équation d’équilibre sera
= Qy 1 ou
Ainsi le solide est d’égale résistance si r est propor-
tionnel à (c* — x*) T . Le diamètre des sections diminue du milieu aux extrémités, qui sont terminées en pointe.
4o6. Il est souvent utile dans les constructions, en consolidant convenablement les extrémités des pièces, de se rapprocher des formes qui rendent les solides
l'jCy LEÇONS SUR l’application
d’égale résista oce : ces formes conviennent principalement au fer fondu, et aux pièces soumises à des efforts dirigés perpendiculairement à la longueur. Quant aux pièces comprimées dans le sens de la longueur, il est utile, quand la longueur est considérable par rapport à l’épaisseur, d’augmenter cette épaisseur vers le milieu; mais on doit toujours conserver aux extrémités des dimensions telles , que la pression ne puisse les écraser. Il est même avantageux, dans beaucoup de cas, de donner à ces extrémités la forme d’une embase, qui s’applique contre les plans entre lesquels le solide est contenu. Cette disposition tend à procurer au solide l’excédant de résistance qu’il présenterait si les extrémités étaient encastrées, conformément à ce qu’on a vu n° 3 o 8 .
Des pièces formées de plusieurs parties assujetties entre.
elles.
407. Lorsqu’une pièce est composée de plusieurs parties, la résistance dont elle est susceptible s’évalue différemment suivant la manière dont ces parties sont assujetties les unes aux autres.
Considérons, en premier lieu, un assemblage de plusieurs pièces superposées (Fig. 90), en supposant ces pièces assujetties par des brides, qui les maintiennent en contact, mais qui ne s’opposent pas à ce que les points correspondants des faces contiguës ne se déplacent les uns par rapport aux autres lorsque l’assemblage vient à fléchir. La résistance de ce système sera la somme des résistances que chacune des pièces offrirait séparément. Ainsi, la section transver-
DE LA MÉCANIQUE, i” PARTIE.
sale des pièces étant rectangulaire , et nommant
a la largeur commune des pièces superposées ; b la hauteur de chacune; n le nombre de ces pièces ;
e et p ayant les significations indiquées n“ 55 et 82 ; E et R ayant les significations indiquées n 0 ' 47 et 75 ;
l’expression du moment d’élasticité sera (n° 5 i ),
et l’expression du moment de rupture ( n° 77),
On fait ici abstraction de l’effet du frottement provenant de la force avec laquelle les pièces sont serrées les unes contre les autres. La résistance du système est la même , soit que l’on place les pièces les unes sur les autres dans le sens où la flexion doit s’opérer , soit qu’on les place les unes à côté des autres.
4 o 8 . Si un assemblage semblable à celui dont on vient de parler était formé de pièces partagées en plusieurs parties dans le sens de la longueur ( Fig. 91), on devrait regarder le moment d’élasticité de cet assemblage comme ayant des valeurs différentes dans les diverses parties. Dans la partie mm, le moment d’élasticité est la somme des moments des trois pièces superposées; dans la partie n n, il est seulement la somme des moments de deux de ces pièces. On doit, autant qu’il est possible, disposer les joints de manière qu’ils ne se rencontrent pdint vis-à-vis les uns des autres;
et cette condition étant remplie, on pourra regarder la résistance du système à la flexion ou à la rupture , comme étant égale à la somme des résistances des pièces superposées, moins une.
On peut même, dans quelques cas, si les joints sont placés convenablement, regarder la résistance du système comme étant égale à la somme des résistances des pièces superposées. Par exemple, dans le solide représenté Fig. 9a, encastré à une extrémité, chargé à l’autre, et composé de trois pièces superposées, la résistance est au point d’encastrèment la somme des résistances des trois pièces. Aux points m,n, que l’on suppose placés au | et aux \ de la longueur, la résistance est seulement les f et le j de la précédente: mais comme l’action du poids P pour causer la flexion ou la rupture en ces points est également les f et le y de l’action de ce poidj au point d'encastrement, l’assemblage offre partout une résistance au moins égale à celle qui a lieu dans ce dernier point. On pourrait évidemment supprimer ici les portions des pièces supérieure et inférieure qui sont au-delà du point n, sans altérer la résistance du système à la rupture.
409. Considérons maintenant un assemblage formé de pièces superposées ( Fig. g 3 ), dont les faces en contact sont entaillées à crémaillère, ou unies par des clefs, et qui sont fortement serrées par des brides. La résistance de cet assemblage à la flexion ou à la rupture ne différera pas sensiblement de celle qu’offrirait une seule pièce des mêmes dimensions.
4 10. Si un assemblage (Fig. 94 ) était formé de deux pièces séparées, mais assujetties entre elles de manière qu’une ligne tracée avant la flexion perpendiculaire-
DE LA MÉCAHIQUE, l r * PARTIE. •« 279
ment à la longueur, devint nécessairement après la flexion une normale commune aux deux courbes formées par les deux pièces, la résistance à la flexion s’estimerait en retranchant du moment d’élasticité du solide, regardé comme plein, le moment d’élasticité d’un solide compris entre les deux pièces. Ainsi, nommant
a la largeur commune des deux pièces; b' la hauteur de l’assemblage ; b" la hauteur de l’intervalle compris entre les deux pièces;
on aurait pour l’expression du moment d’élasticité
Le moment de rupture serait
L’hypothèse sur laquelle ces formules sont fondées ne peut être réalisée, lorsque les pièces sont placées parallèlement, qu 'autant que ces pièces sont assujetties l’une à l’autre par un système de traverses et de croix, ou par des clefs pénétrant dans des entailles, comme on l’a représenté fig. Mais si l’une des pièces est courbée (Fig. 95), ou si elles le sont toutes les deux, et si ces pièces sont assujetties aux extrémités, de manière à ne pouvoir glisser l’une sur l’autre, il suffit qu’elles soient réunies par des traverses pour que l’on puisse évaluer la résistance dn système d’après les formules précédentes. Il conviendra, dans chaque cas particulier , de régler la courbure des pièces de ma-
*8o leçons sur l’application
nière à reudre le système d’égale résistance, conformément aux principes exposés dans l’article précédent.
4i i. Dans les systèmes représentés fig. et g5, la pièce placée du côté qui devient concave lors de la flexion résistant seulement à une compression exercée dans le sens de la longueur, peut être formée de plusieurs parties posées bout-à-bout, maintenues dans le prolongement les unes des autres. De même, la pièce placée du côté qui devient convexe lors de la flexion résistant seulement à une tension exercée dans le sens de la longueur, peut être formée de plusieurs parties , pourvu que ces parties soient attachées les unes aux autres par des assemblages offrant à la tension une résistance égale à celle de la pièce. Une division semblable des pièces supérieure et inférieure n’altérera pas sensiblement la force du système.
4 ta. Connaissant la nature des efforts auxquels les pièces sont exposées dans les assemblages de ce genre, on peut choisir pour chacune la matière qui convient ' le mieux. Ce choix est déterminé par la condition d’obtenir une résistance donnée avec la moindre dépense possible. En comparant les résistances respectives du fer fondu et du fer forgé à la compression et à l’extension, avec les prix de ces matières, on reconnaîtra qu’il est toujours avantageux d’employer le fer fondu pour les pièces comprimées, et le fer forgé pour les pièces tendues. Cette disposition offre aussi plus de sécurité lorsque la construction est exposée à des secousses, parce que le fer forgé peut souvent se prêter sans rompre à une extension subite, qualité dont le fer fondu est presque entièrement dépourvu.
Le bois de chêne ou de sapin , comprimé ou tendu,
DE LA MÉCANIQUE, t"' PARTIE. a8l
coûte beaucoup moins, à résistance égale, que le fer * forgé ou fonrlu, et il est moins susceptible de rompre par l’effet des chocs : mais il n’offre pas la même durée lorsqu’il est exposé à l’humidité.
4 i 3 . Ôn a souvent proposé de consolider des pièces en bois avec des armatures en fer. Lorsqu’une pièce est soumise à un effort dirigé perpendiculairement à sa longueur, la meilleure disposition consiste à encastrer dans les faces latérales de cette pièce un assemblage formé d’une pièce courbe et d’un tirant rectiligne , dont les extrémités sont assujetties l’une à l’autre (Fig. 96). On peut aussi encastrer un semblable assemblage entre deux pièces de bois posées l’une k côté de l’autre, et serrées par des boulons. Si l’on suppose que le contact établi entre les points du fer et du bois se maintienne exactement lors de la flexion ; ou si, pour plus de sûreté, on a consolidé l’assemblage en fer par des traverses , comme on le voit fig. q 5 , la résistance du système est égale à celle de la pièce de bois, plus celle de l’assemblage en fer évaluée conformément au n° 4 10. Le tirant rectiligne doit toujours être en fer forgé; mais il est avantageux d’employer le fer fondu pour la courbe.
Expériences sur la résistance des pièces formées de plusieurs parties assujetties entre elles.
. 414. D’après une expérience de M. Aubry (a), un
barreau de bois de chêne ayant 1 pouce de largeur ,
(a) Mémoires sur différentes questions de la science des construc lions publiques et économiques , p. 65.
a8a leçons son l’application
a | pouces de hauteur, posé horizontalement sur deux appuis distants de 5 pieds, et chargé au milieu, a rompu sous un poids de y55 livres produisant une flèche de a pouces.
Un autre barreau du même bois, ayant i pouce • de largeur et a pouces de hauteur, formé de trois pièces entaillées de 3 lignes, de 6 en 6 pouces, et serrées par deux boulons de i -j ligne de diamètre; posé et chargé comme le précédent, a rompu sous un poids de 475 liv. produisant une flèche de 3 pouces 2 lignes.
D’après cette expérience., le second barreau était à peu près aussi fort que s’il eût été d’une seule pièce.
4i5. Les expériences de M. Duleau sur des pièces de fer forgé ( a ) offrent les résultats suivants. Les pièces étaient posées horizontalement sur deux appuis, et chargées au milieu : toutes avaient o m ,o6 de largeur. Les boulons de o ra ,oa de diamètre, au moyen desquels ces pièces étaient assemblées, étaient espacés de o®,4- Les résultats sont ramenés par le calcul à présenter la flèche çle la courbure affectée par chaque pièce sous une charge de 10 kil.
La résistance à la flexion du système formé par des pièces en croix diffère peu de celle que l’on calculerait par la formule du n° 4io. Quant aux pièces simplement serrées par des foulons, la résistance est moindre, et d’autant plus que l’intervalle des pièces est plus grand ; ce qui doit être attribué à la flexion des boulons (b).
(a) Essai théorique et expérimental sur la résistance du fer forgé, p. 4o. /
(6} On trouve quelques expériences analogues aux précédentes
DE LA MÉCANIQÜE,
