On peut supposer que, dans le système consi

DE LA MÉCANIQUE, l" PARTIE. 3oï

déré n° 4^7, et représenté fig. 108, on place, outre le lien AB, un autre lien horizontal EF, comme l’indique la fig. 1 14- Dans ce cas, l’effort horizontal r II tang. «, avec lequel les pièces tendent à s’écarter l’une de l’autre, est encore entièrement supporté par les obstacles placés en A, B, ou par le lieu AB. On doit assimiler la pièce AC à celle que l’on a considérée n° 199 , mais en admettant qu’un des points de cette pièce a été rendu fixe. Il résulte de l’analyse exposée dans ce numéro, où les pièces sont regardées comme des verges flexibles et non compressibles, que si le point fixe E est placé à l’un des points de division de la pièce en 2, 3 , etc. parties égales, la valeur de l’effort capable de faire fléchir cette pièce deviendra 4 fois, 9 fois, etc. plus grande que s’il n'existait aucun point fixe. On doit d’ailleurs avoir égard aux notions exposées n° 3 i 8 , pour apprécier le plus grand effort auquel la pièce puisse être exposée. *

Le lien EF, placé dans un des points de division de la pièce AC en parties égalés, ne supporte aucune tension longitudinale. En effet, quoique l’existence d’un point fixe placé de cette manière détermine dans cette pièce un mode de flexion particulier, aucun effort n’est exercé sur ce point.

Les remarques qui viennent d’être faites peuvent être appliquées à l’appareil considéré n° 435 , et représenté figure 11 3 , si l’on suppose qu’un lien horizontal soit placé à une certaine hauteur entre les pièces AB, A' B'.

438 . L’appareil représenté figure Ii 5 est formé du poids 17 , suspendit à l’extrémité C de la pièce horizontale BC, qui est consolidée par la contrefiche AD. Les points A, B sont fixes, mais on suppose les pièces libres de tourner sur ces points. On nommera

36a LJtçoits sur l'application

l,T les distances BD, CD; a l’angle B AD.

Le point fixe B soutient de bas en haut un effort

vertical n -j qui fait équilibre au poids II autour du

point D. Le point D est chargé de la somme du poids n, • . I + F

et de cet effort , qui est n — j — Cette charge devant être supportée par la pièce AD, il s’établit dans le sens de cette pièce la pression n / — , ét en même

i. COS. oc

temps dans la direction DB la tension IT

tang.

qui est détruite par la résistance du point fixe B. Par conséquent, pour s’assurer que l’appareil est suffisamment fort pour porter le poids n , il faut d’abord exa- i miner si la contrefiche AD, assimilée à la pièce considérée n°a 99 , peut supporter la pression longitudinale

l cos. a

. La

pièce BC doit ensuite être regardée

comme étant assujettie à passer en B et D dans des points fixes, comme étant tendue dans la partie BD

par la force II

tang. et, et sollicitée à rompre en D

par une force dont le moment est n/\ et qui tend à produire en ce point une courbure dont le rayon a

pour valeur inverse 5p. D’après cela, si, comme au

n° 3aa, on veut que le plus grand effort exercé sur l’unité superficielle ne dépasse pas R', on posera l’équation

ll ' tt /'•(/-t-f ) tang.a

E~ 1J V, Eu./

. DE LA. MÉCANIQUE, I™ PARTIE. 3o3

qui devient, lorsque la section transversale est un- rectangle dontaet £ représentent la largeur et l’épaisseur,

tv __ n

lX ~ab\ l

et qui donnera la plus grande valeur du poids II dont on puisse charger l’appareil.

439. On supposera maintenant que la pièce horizontale BC, et la contrefiche DE ( Fig. 116) sont assemblées avec une pièce verticale A. B, encastrée à l’extrémité inférieure A. Ce qui a été dit ci-dessus pourra s’appliquer aux pièces BC, DE. Quant à la pièce AB,

elle est sollicitée en E par la force IT dirigée

suivant DE, et équivalente à une force horizontale

Il — j- tang. a , et une force verticale n — j — . La même pièce est sollicitée, en B, par la force horizontale'

EL — - — tang. a dirigée dans le sens BD, et par la force * *

verticale n -7 dirigée de bas en haut. Pour plus de

simplicité , on supposera la courbure de la pièce AB extrêmement petite, en sorte que l’on puisse négliger les déplacements des points B,E par rapport aux longueurs des parties de la pièce ( ce que l’on peut faire dans les cas ordinaires des applications ). Ou verra alors i°que cettepièce, comprimée longitudinalement dans l’intervalle AE par l’effort n, est sollicitée à rompre en un point quelconque de cet intervalle par une force horizontale dont le moment est n (/ + /), et qui tend par conséquent à produire une courbure

dont le rayon a pour valeur inverse

La li-

3o4 leçons suit l'application

mite des valeurs de n, pour que les fibres ne supportent pas sur l’unité superficielle une pression dépassant R' , sera donc , conformément à ce qu’on a vu n°3aa, donnée par l’équation

qui devient, lorsque la section de la pièce est rectangulaire,

R# =^[* + 6 ( Z+r >]- '' a 0 Que la même pièce AB, tendue longitudinalement dans l’iutervalle BE par Teffort II j , est sollicitée à

rompre enE par une force dont le moment est II (/+ 1). La limite des valeurs de n, pour que les fibres ne supportent pas en ce point sur l’unité superficielle \ine tension dépassant R', sera donc donnée par l’équation ;

R, -nf v , A^ + n \ •

qui devient, lorsque la section de la pièce est rectangulaire,

Si le point Dest au milieu de BC, la pièce AB tend également à rompre dans un point quelconque de l’inter- . valle AE, et en E. La pièce tend à rompre dans l’intervalle AE plutôt qu’en E si B D est < CD. L’état d’équilibre de la pièce ne dépend pas de l’inclinaison de Ja contrefiche DE.

Par suite de la courbure qu’affecte la pièce, et dont les formules précédentes ne tiennent point compte ,

Digitizèd-by Geogle

DE LA. MÉCANIQUE, I™ PARTIE. 3o5

les valeurs du poids n données par ces formules seront un peu trop grandes; et la pièce tend à rompre en A plutôt qu’en tout autre point de l’intervalle AE.

44o. Quelquefois la pièce AB n’est point encastrée à l’extrémité inférieure : elle est consolidée par une pièce inclinée AF (Fig. 117). Dans ce cas, tout ce qui a été dit dans les numéros précédents doit s’appliquer à la partie de l'appareil située au-dessus du point A. Quant à la partie située au-dessous de ce point, supposons d’abord la pièce AF dirigée de manière que le point F soit au-delà de la verticale passant par le point de suspension du poids II. Nommons h la distance A A' , 9 l’angle A' AF, et désignons toujours par l + l la distance BC. Le poids II tend à faire tourner la pièce A' B sur le point A', et le moment de ce poids, pris par rapport à ce point, est II (/+/'). Il est nécessaire, pour que ce mouvement n’ait pas lieu, que la pièce AF oppose, dans le sens de sa longueur, une

résistance II Cette force agit au point A dans

h sin. 9 or

la direction FA, et équivaut à une force horizon-

taie II — — > et une force verticale n — dirigée

n à tang. 9 0

de bas en haut. Ainsi, i° la pièce AF doit être assimilée à la pièce cousidérée n° 299. la force désignée

par Q étant ici II . — - ; 2" la partie A A' de la pièce

verticale n’est plus comprimée suivant sa longueur

qu’avec la force n ( 1 — / * Y

1 \ h tang. 9 J

Si maintenant la pièce inclinée est dirigée de manière que le point F se trouve en-deçà de la verticale passant par le point de suspension du poids II, l’appareil

3 o 6 leçons sur t ; application

tendra à tourner sur le point F. La force comprimant

la pièce AF sera toujours exprimée par Fl , et

la partie A A' de la pièce verticale sera tendue suivant

sa longueur avec la force n Ç ‘ - — i^- 11 serait

nécessaire alors que cette dernière pièce fût attachée en A' à son point d’appui.

44 1 - L’appareil représenté fig. 118 est formé du poids II suspendu en C au milieu de la pièce horizontale B B' , dont les extrémités sont appuyées sur des points fixes, et qui est consolidée par les contrefiches AD, A'D', assemblées avec cette pièce, et appuyées elles-mêmes contre des points fixes en A et A'. La pièce B B' fléchissant sous l’action du poids II, et les contrefiches se comprimant, l’action du poids se trouve répartie sur les quatre points fixes. La méthode employée dans diverses questions traitées précédemment pourrait faire connaître les conditions de la flexion et de la rupture de cet appareil. Mais comme, en général, il s’agit moins dans les applications de connaître le poids capable d’opérer la rupture, qu’une limite au-dessus de laquelle ce poids se trouve nécessairement, on peut ici, et dans des cas semblables, éviter de la manière suivante le calcul compliqué auquel on se trouverait conduit.

On distinguera dans l’appareil proposé deux systèmes, dont chacun supporterait seul le poids n, et dans chacun desquels les conditions de la flexion et de la rupture peuvent être immédiatement connues : savoir, i° la pièce BB' appuyée sur les points B, B', abstraction faite des contrefiches; a° la portion de polygone AD D'A' appuyée sur les points A, A', abstraction faite de la

DE LA MÉCANIQUE, I rr PARTIE. 3<>7

liaison de la partie DD' de la poutre avec les parties BD>B'D\ Chacun de ces systèmes, considéré à part , étant moins fort que l’appareil proposé , on est assuré que le poids qui romprait cet appareil est plus grand que le poids qui romprait le plus fort des deux systèmes.

Si la pièce B B', appuyée sur les points B, B', supportait seule le poids n, la valeur de ce poids, déterminée par la condition qu’il n’obligeât point cette pièce à rompre en C, devrait être évaluée d’après le n° 83.

Si le système ADD' A' supportait seul le poids tl, et qu’aucun effort ne fût exercé sur les points B, B', on se trouverait dans le cas du n° 435. Par conséquent, désignant par a l’angle BAD ( 1 ° pour que le poids n n’obligeât point la pièce DD' à rompre en C, ce poids devrait être déterminé par les éqüationsdes n®’ 829 ou 33o, où c représenterait la distance CD, etoù l’on mettrait et jn tang. « à la place de P et Q ; a° pour que les contrefiches résistassent au même poids , il devrait être déterminé conformément aux A 6 ’ agg et3i 8 , en

prenant — S — pour l’effort exercé suivant la longueur 1 2 cos. a D

de ces pièces.

Dans les applications, l’équation du n° 33o différera généralement fort peu de Bf'=-i 7 (Q4 6 Pc); ou,

en remplaçant P.Q par les valeurs précédentes,

R — 2^(^ tan g-* + 6C )-

D’un autre côté, nommant c' la distance BD, on déduirait du n° 83, en considérant l’équilibre de la

ai.

3o8 leçons, sur l'application

pièce B B' soutenue sur les points B, B',

U 7 IÏ-6 (c-t-c’)

R ” a .ad'

Par conséquent, quand il s’agit d’une pièce rectangulaire, il suffit, pour que lesystènie ADD'A’ soit plus fort

que la pièce B B', que tang. a soit < -j- ; en supposant

d’ailleurs aux contrefiches AD, A'D' une résistance suffisante.

44 a. On supposera maintenant la pièce horizontale BB', et les contrefiches DE, D'E' (Fig. 119) assemblées aux deux pièces verticales AB, A' B'. Si, dans cet appareil, les extrémités inférieures A, A' de ces pièces étaient simplement supportées , et pouvaient glisser librement sur leurs appuis, les contrefiches donneraient de la stabilité à l’équilibre du système, mais n’en augmenteraient pas la force , et la pièce horizontale BB' serait sollicitée à rompre en C de la même manière que si les contrefiches n’existaient pas. En effet, cette pièce est également sollicitée dans les deux cas à rompre en C par la force , agissant de bas en haut au point A avec le bras de levier BC.

443 . Si l’on suppose au contraire, dans l’appareil représenté fig. 119, que les extrémités inférieures A, A' des poteaux sont fixes, les efforts exercés sur ces points pourront être supposés dirigés obliquement, ce qui diminuera l’action qui tend à rompre en C la pièce B B'. On pourra appliquer à cet appareil le principe employé n° 44 f i en y distinguant deux systèmes, dont chacun pourrait seul supporter le poids II, savoir: 1* la pièce B B' soutenue seulement par les po-

.JJigito

UK LA MÉCANIQUE, I" PARTIE. 3o<)

teaux AB, A' B'; et 2 0 la portion de polygone EDD’E' appuyée en E,E' contre ces mêmes poteaux.

Pour que le premier système soutienne le poids II, il faut que ce poids ne puisse rompre la pièce B B' supportée à ses extrémités; et, de plus, que les pièces AB, A'B' résisteilt chacune à une pression longitudinale fil.

Pour que le second système supporte le même poids, il faut en premier lieu que la portion de pièce DD 1 , et les contrefiches DE, D'E' aient la force suffisante, conformément à ce qu’on a vu n° 44* • On remarquera ensuite qu’il s’exerce en E, dans la direction DE, uu

effort — 2 , équivalent à une force horizontale

2 cos. a 7 *

n jang. g une force verticale — . La force verticale 2 2

est transmise au point d’appui A. La force horizontale se décompose en deux autres , appliquées aux points A et B. En nommant h, h' les distances A E,BE,

on a ïï ^ pour la composante appliquée en A ,

qui est détruite par la résistance du point d’appui ; TT h tang. a 2(À-|-/t')

produit une tension dans la portion de pièce BD. Par conséquent, il faut en second lieu que les portions de pièce BD, B'D' puissent résister à la tension longitudinale 1 Ijf* Troisièmement enfin , quant

aux pièces verticales AB, A’B', on peut regarder la pièce AB comme étant maintenue fixement au point E,

et sollicitée à l’extrémité A par une force verticale 5 ,

et " , , . ” ■ pour la composante appliquée en B , qui

3lO LEÇONS SUR LAPPLICATION

et une force horizontale dont le moment, pour faire

fléchir la pièce en E, est ^ ^ r — Le moment de

]a force horizontale agissant à l’extrémité B pour faire fléchir la pièce au même point E , a la même valeur. Par conséquent en négligeant, comme on l’a fait dans le n° 439 , la considération de la courbure des pièces, et en se conformant au n° 3a 2 , la limite des valeurs de II , pour que les fibres des pièces verticales A B, A' B' ne supportent pas sur l’unité superficielle, aux points de rupture E,E', des pressions surpassant R', sera donnée par l’équation

R' Il p 1 i v' . M'tang. a'|

E 2 LËw + ~^TA) J ?

qui devient , lorsque la section transversale est rectangulaire ,