On obtient plus de solidité encore en assem

blant les traverses, de manière que leur direction ne puisse varier au point d’assemblage , non-seulement avec le poteau tourillon BC, mais encore avec le poteau busqué EF. > . •

457 . D'après ce qui précède, les traverses ou entretoises, sur la longueur desquelles une partie du poids de la charpente est distribuée , peuvent se trouver dans trois conditions différentes.

i° Si elles sont assemblées dans les deux poteaux de

3l8 LEÇONS SUR I.’ APPLICATION

manière qu’elles puissent tourner librement sur leurs points d’assemblage, elles résistent comme des pièces supportées aux deux extrémités. On conclut du n° 59 que la plus grande compression ou extension des fibres* causée en un point quelconque par la flexion verti* cale, est

p désignant le poids porté par l’unité de longueur , c la moitié de la longueur de la traverse, x la distance du point que l’on considère au milieu de cette longueur, a le moment d’élasticité ( la pièce étant supposée fléchir verticalement ), v' la distance des fibres extrêmes comprimées ou étendues à l’axe d’équilibre tracé dans la section transversale.

458. a° Si les traverses sont assemblées avec le poteau tourillon seulement de manière qu’elles ne puissent tourner sur le point d’assemblage, elles résistent comme des pièces encastrées horizontalement à une extrémité. On conclut du n° 58 que la plus grande compression des fibres est

,dy

dx*

ù désignant la longueur de la traverse, x la distance du point que l’on considère à l’extrémité encastrée.

45g. 3° Si les traverses sont assemblées avec les deux poteaux de manière que leurs directions ne puissent varier aux points d’assemblage, elles résistent comme des pièces encastrées horizontalement à une extrémité, et dont l’autre extrémité est assujettie à la condition que la tangente de la courbe y demeuré horizon-

DE LA. MÉCANIQUE, i" PARTIE. 3 If)

taie. L'état d’équilibre de ces pièces, en supposant la charge qu’elles supportent distribuée uniformément sur leur longueur , peut être déterminé de là manière suivante.

Nommant

p le poids constant dont chaque unité de longueur de la pièce AM (Fig. 127 ) est chargée;

x, y les coordonnées horizontale et verticale A/>, pm d’un point quelconque m de la courbe affectée par la pièce ;

c, f, l’abscisse AB et l’ordonnée MB du point extrême M ;

e ayant la signification indiquée n° 55 ; l’équation d’équilibre de la pièce AM sera

ex +

en désignant par A une quantité constante. On en déduit

et en déterminant la constante A de manière que l’on ait ^ = o au point M où x=c , ce qui donne

L’abaissement du point extrême M est trois fois moin-

3ao leçons sur l’application

dre qu’il ne serait si ce point était entièrement libre, comme 'on l’a supposé n° 58. La plus grande compression des fibres est

,d'r v' ,p fc' x'\

'*£= . (t— cx+ t)

c désigne la longueur de la traverse , et a: la distance du point que l’on considère à l’extrémité encastrée.

Du cas où la charpente des portes est supportée par une roulette.

460. Lorsque la charpente de la porte est supportée au moyen d’une roulette placée sous le poteau EF (Fig. 126 ), ou près de ce poteau, le cadre B CEF ne tend point à changer de forme. On peut suppri- ,mer le bracon B F et le tirant CE , et la solidité de la construction est suffisamment assurée si l’on attache par des liens les traverses aux deux poteaux.

461. Le poteau busqué EF étant ainsi soutenu, les traverses résistent en général aux poids dont elles sont chargées, d’une manière différente de celle qui a été indiquée dans les n“ 4^7 et suivants.

i° Si les traverses sont assemblées dans les deux poteaux de manière à tourner librement sur leurs points d’assemblage, on pourra appliquer ici ce qui a été dit n° 457 .

46u. 2 0 Si les traverses sont assemblées avec le poteau tourillon seulement de manière qu’elles ne puissent tourner sur le point d’assemblage, elles résistent comme des pièces encastrées horizontalement à une extrémité et supportées à l’autre. L’état d’équilibre de ces pièces peut être déterminé comme il suit.

DE IA MÉCANIQUE, I rt PARTIE. 3'i C

Nommant

p le poids constant dont chaque unité de longueur de la pièce AM (Fig. 128) èst chargée; x, / les coordonnées horizontale et verticale A p, m p d’un point quelconque m de la courbe affectée par la pièce ; c la longueur AM;

II l’effort exercé par la pièce sur le point d’appui placé â l’extrémité M ; e ayant la signification indiquée n° 55 ,

l’équation d’équilibre sera

•sè=p(-,- cx+ ?y- n ( c -^

d’où

dr fc'x ex’ x 1 '

"dx P JT + 1T,

( ex—

fc'x' ex’ x i \

Sçx*

Déterminant le poids n par la condition que y = o

quand x = c, il vient TI =-/>c, et

La plus grande compression des fibres est

dx *

4 G 3 . 3 ° Si les traverses sont également assemblées avec les deux poteaux, de manière quelles 11e puissent tourner librement sur les points d’assemblage , elles

3aa leçons 6ür l’application

résistent comme des pièces encastrées horizontalement aux deux extrémités. Conservant les dénominations du numéro précédent, l’équation d’équilibre sera

A représentant une quantité constante. On en déduit

e X=/\lT

ex 1 x^

àx* § X*\

£lV

et en déterminant les constantes II et A , de manière que l’on ait ^=o et / = o au point extrême où x=c ,

ce qui donne ïl = — ,

/c’a:’ ex 3 x i \

'T=P (~4 TT+^i)-

En faisant x = ~, on a pour l’ordonnée du point milieu, ou la flèche de courbure, En compa-

rant ce résultat à celui du n° 59 , on voit que cette flèche est 5 fois moindre qu’elle ne serait si la pièce était simplement supportée aux deux extrémités. En le comparant à celui du n° aqo, on voit que la flèche de courbure est la moitié de ce quelle serait si le poids pc, au lieu d’être uniformément réparti sur la longueur de la pièce , était suspendu au milieu.

La plus grande compression des fibres est

dx ’

/c’ ex \i 2 a

DE LA MÉCANIQUE, I" PARTIE. 3a3

De l’action de Veau sur les traverses des portes d’écluse.

464. Lorsque la porte est fermée, et supporte la pression de l’eau, les poteaux AD, EF (Fig. 136) sont appuyés dans toute leur hauteur, et par conséquent ne sont point sollicités par cette pression , qui tend seulement à fléchir les traverses assemblées dans ces poteaux. Pour évaluer l’action à laquelle les traverses sont exposées, on doit distinguer le cas des portes simples et celui des portes busquées. Dans le premier cas, l’action dé la pression de l’eau sur chaque traverse peut être assimilée à celle d’un poids uniformément réparti sur la longueur d’une pièce horizontale supportée aux extrémités. On appréciera donc cette action par les n 05 5 q et 86. Dans le second cas, il s’établit dans le sens de la longueur des traverses une pression qui doit être prise en considération.

465 . Nous supposerons ici que chaque traverse supporte la pression exercée par l’eau sur l’espace compris entre les milieux des intervalles qui existent entre cette traverse et les deux voisines; et que la même pièce supporte également l'effort exercé de la part d’une porte sur l’autre, en vertu de cette pression. Nommant p , l’effort résultant de la pression de l’eau sur chaque unité de longueur de la traverse, ac cette longueur MM' (Fig. 128), et <p l’angle du buse C MM', on aura p t ic pour l’effort exercé perpendiculairement sur MM', et p,c pour les composantes de cet effort qui doivent être détruites aux extrémités M et M'. La pression que les deux traverses MM' exercent l’une contre l’autre en M 1 est donc une force parallèle à CM, dont la composante perpendiculaire à MM' est p, c.

Ainsi cette pression est 4 - 1 — , et sa composante di-

3a4 LEÇONS SUR INAPPLICATION « j

rigée suivant MM' est -? ,c • Il suit de là que la pièce

M M' doit être regardée comme étant appuyée à ses extrémités, et supportant à la fois le poids 2 p,c distribué uniformément sur sa longueur, et la pression

longitudinale -P' ~ c - .

tang. <p

460. Chaque moitié de cette pièce se trouve donc dans le même état d’équilibre qu’une pièce AM (Fig. 129),. encastrée horizontalement en A , chargée de poids distribués uniformément sur sa longueur, et sollicitée en M par une force verticale P agissant de bas en haut,! et par la force horizontale Q. Désignant par

x, y les coordonnées horizontale et verticale Ap, pm de la courbe AM; c la distance AB;

/ l’ordonnée BM du point extrême M; p , le poids porté par la pièce sur une unité de longueur;

e ayant la signification indiquée n° 55 ; l’équation d’équilibre sera

— c^ + ^-)+ p (c-a.')+Q(/-jr)t ' '

ou eu remarquant que, dans le cas dont il s'agit, P c,

L’intégrale de cette équation est

r =Asin.v/f (aM-B )— '

DE LA MECANIQUE, l” PARTIE. 3a 5

A et B désignant deux constantes arbitraires. On doit

au point A avoir x= o, j=o , =o; et au point B,

x = c , ce qui donne les trois équations

o = A y/ - cos. B y/ ? ,

o=Asin. (c + B) ^ ;

d'où l’on déduit

ços.Bl/ - —o,sin.B \/SL= i ,A = ^ — — ,

1 * Q’.cos.cy ?