La plus grande valeur de qui répond à

x = o , est

qc —q,

V—pc e^ c

— qc

— qc

On aura donc, comme ci-dessus, pour l’équation servant à régler les dimensions de la section transversale ,

R'Q ] v ':£( l . 2 ^ v'ÇP-pc) e^-e qc

E E&> Q q c —i c /^ a O ‘ qc — qc ’

dans laquelle on doit substituer à la place de P et Q leurs valeurs, conformément à ce qu’on a vu n M 481 et 482.

4 q 4 - L’équation du n° 484 peut être appliquée au cas dont il s’agit, lorsque l’on suppose la courbure de . la pièce très-petite.

344 LEÇONS SUR LAPPLICATION

495 . Dans les derniers systèmes que l’on vient de considérer, les extrémités des soupoutres étant attachées à des points fixes, l’équilibre est stable, et les rnoises qui lient les contrefiches les unes aux autres ne sont utiles que pour prévenir la flexion de ces pièces.

4g6. La fig. 1 35 indique une autre disposition des contrefiches , d’après laquelle aucune action n’est exercée dans le sens de la longueur des sommiers du plancher. Supposant toujours les parties des sommiers disjointes aux points D, D,, D a ,.... , chacune de ces

parties DD', DD,, D,D,, résistera à la charge placée

dans l’intervalle correspondant dq plancher comme une pièce supportée à ses extrémités. Les efforts exercés verticalement aux points D, D,,D, se décom-

poseront dans le sens des deux contrefiches qui partent de ces points, et produiront sur chacune de ces pièces des pressions longitudinales.

Ce dernier système n’étant point sollicité à changer de figure, quelle que soit la distribution de la eharge, présente par lui-même un équilibre stable. Mais l’emploi des rnoises pendantes indiquées sur la figure serait nécessaire , en général , pour s’opposer à la flexion des contrefiches , et soutenir le poids de ces pièces en les tenant suspendues aux points DjD.jD,,.....

De l’action des ponts formés de poutres et de contrefiches sur les piles ou culées.

497- Lorsque les fermes sont formées d’une seule poutre, comme on l’a supposé n" 477 1 les extrémités de cette poutre exercent seulement un effort vertical , sur leurs points d’appui , effort que l’on évalue facilement d’après les lois de l’équilibre du levier.

DE LA MÉCANIQUE y l r * PAKTIE. 345

498. Dans le cas du n° 478, les points d’appui A et A’ ( Fig. 1 3 1 ) supportent chacun un effort vertical égal à l’effort vertical exercé sur les extrémités supérieures D, D' des contrefiches; et de plus, un effort horizontal égal à la pression longitudinale supportée par la pièce DD'. Les points B, B’ supportent un effort vertical dû au poids réparti dans les parties BD, B’D'.

Lorsqu’il y a plusieurs contrefiches, l’extrémité inférieure de chacune de ces pièces exerce toujours contre

la culée de semblables efforts verticaux et horizon-

taux. La somme des efforts horizontaux exercés contre chaque culée est égale à la somme des pressions longitudinales supportées par les pièces placées dans l’intervalle DD' (Fig. 1 33 ).

Les efforts horizontaux tendent à écarter les culées; les efforts verticaux tendent à les maintenir sur leurs bases. L’action par laquelle les culées pourraient être renversées est mesurée par la différence des moments des efforts verticaux et horizontaux, pris par rapport à l’axe autour duquel tournerait la masse de ces culées. . ' .

499. Dans le casdu n° 488 , les extrémités inférieures des contrefiches exercent toujours contre les culées les mêmes efforts verticaux et horizontaux dont il yient d’être question. Mais de plus, la partie supérieüre de ces culées, à laquelle les soupoutres doivent être attachées, est sollicitée par l’effet des tensions longitudinales supportées par ces pièces. La somme de ces tensions horizontales est égale à la somme des pressions horizontales exercées par les extrémités inférieures des contrefiches; et comme les premières forces agissent pour faire tourner la masse de la culée avec

des bras de levier plus grands que les secondes, la culée est ici sollicitée à se renverser en dedans.

500. Dans le cas du n° 496 , l’extrémité inférieure de chaque contrefiche exerce contre la culée un effort vertical et un effort horizontal, égaux aux composantes verticale et horizontale de la pression longitudinale supportée par la contrefiche. La somme des efforts verticaux exercés par les contrefiches DA, DA' qui partent d’un même point D est égale à l’effort vertical exercé en D ; et les efforts horizontaux exercés par ces mêmes contrefiches sont égaux entre eux.

501. On peut, dans le système du n° 487 , supprimer toute action horizontale contre les points d’appui , au moyen d’un tirant dont la tension résisterait à la poussée des contrefiches ( Fig. 1 36 ). Dans ce cas le tirant, suspendu aux poutres et aux contrefiches, supporte ordinairement le plancher du pont (a).

Des ponts supportés par des arcs.

5oi. Nous regarderons d’abord les arcs qui forment la partie principale des fermes, dans les ponts de cette espèce (Fig. r 3^ et i38), comme un corps homogène , auquel on peut appliquer les résultats exposés ci-dessus, article VI.

Si le poids de la construction et les surcharges placées sur le plancher étaient distribués uniformément dans l’intervalle B B', la figure qu’il faudrait donner à la pièce courbe, pour qu’elle n’eût aucune tendance

(«) Le pont de Schafîhouse était disposé sur ce principe, aussi-bien que le pont de Wettingen , la plus grande arche en charpente q»' ait existe.

DE LA MÉCAWfQUE, l re PARTIE. 347

à fléchir, serait, conformément au n° 358, un arc de parabole. t)ans la réalité , les parties situées près les extrémités sont un peu plus chargées que celles qui sont situées au milieu , et ou donne ordinairement à ces pièces la figure d’un arc de cercle. Mais, eu égard à l’épaisseur de la pièce et au peu d’amplitude, de sa courbure, on peut la regarder comme n’étant nullement sollicitée à fléchir par l’effet du poids de la construction et d’une surcharge distribuée uniformément sur le plancher, et supportant seulement une pression longitudinale, dont on calculera la valeur par les formules des n os 356 et 357 . La valeur de Q donne la pression horizontale exercée par l’arc contre les points d’appui.

503. Si, indépendamment d’une charge répartie uniformément sur l’intervalle BB', un poids était placé au sommet C de la courbe, l’arc cesserait d’être en équilibre. On connaîtrait par les n os 377 et 378 l’action exercée par ce poids pour augmenter la pression horizontale contre les points d’appui , et la pression longitudinale dans les différentes parties de l’arc. On pourrait évaluer ensuite, par le n° 383, l’action du poids pour faire fléchir l’arc, çt les plus grands efforts que cés parties auraient à supporter.

504. Le milieu Cde l’intervalle BB' n’est pas le lieu où un poids exerce la plus grande action pour fléchir l’arc. Il est donc nécessaire de rechercher les conditions de l’équilibre, en supposant le poids placé en un point quelconque de cet intervalle.

Considérons la pièce courbe MCM' (Fig. 139 ) formée de deux parties symétriques séparées par l’axe vertical AC, et dont les extrémités M, M', situées sur

348 leçons sür l’application

une même ligne horizontale, sont portées par des appuis qui ne leur permettent pas de s’écarter l’une de l’autre. Si l’on suspend un poids ail en un point quelconque N de la pièce courbe, ce poids fléchira cette pièce, obligera le point N à se déplacer, et exercera de certains efforts verticaux! et horizontaux contre les points d’appui. Chacune des parties MM, NM' de la pièce se trouvera alors dans le même état d’équilibre que si , la pièce étant supportée en N par un appui fixe, on avait appliqué aux extrémités M, M' des forces égales aux efforts supportés par les points d’appui. Les déplacements des extrémités, qui auraient lieu dans ce dernier cas, répondent aux déplacements du point N qui ont lieu dans le premier. On peut trouver les conditions de l’équilibre de chacune des parties de la pièce en appliquant les formules du n° 364; il faut seulement remarquer qu’ici la pièce étant simplement supportée en N sur un appui, la direction de la courbe en ce point n’est pas déterminée d’avance, comme elle l’est pour une pièce courbe encastrée à l’extrémité supérieure. On nommera

a , b les distances AM, AC;

* la distance horizontale CD du point N au sommet de la courbe ;

x , y les coordonnées horizontale et verticale des points de la courbe, comptées du point N.

La courbe, supposée défiguré parabolique, aurait pour équation, en comptant les coordonnées du pointC,

J? JC* 0 m • 0 •

y=-^--Les coordonnées étant ici comptées du point N, l’équation de la partie NM est y^z~( 2 *x+x*.). r

Di^itized by Coogic

d’où = —3- (a-\-x). Substituant ces valeurs dans dx a

dy 2 b

- '■ ■ n l ^ — p J» V VfV

dx a

les formules du n° 3G/i , où l’on écrira —(a' — «’ ) à

la place de b, et négligeant les puissances supérieures de H vient pour la partie NM de la courbe

dx — dx — — ^cta^^P | Ça — oc^*x+ Ça — x 1 — ^ |

dy— rf r= 7 rf *[ p j («— ■ «)**— : ~)

+ ÿ j («’ Ij + ™] »

m étant une constante introduite par l’intégration, et dont la valeur dépend de l’inclinaison que la courbe doit prendre sur l’appui N. On en déduit

Ça-

3 ol\

+ ÿ(( aW ) f-T 5 -- fi! + H ’

et en faisant x=za — a pour connaître les déplacements h et /'du point M,

-^ï-^rUr — r + — + -§ — t)

1 Ti

Ci a + Clôt —

Les mêmes formules conviendront à la partie N M' de la courbe, en changeant le signe de a et celui de m. Par conséquent, désignant par P,, Q. les forces appliquées au point M', et par h,,/, les déplacements de ce point, on aura

, i 2êrY,/5a 4 a 3 a. a’ a’ aa 3 a 4 \

Q A /5 a 4 , a’ a’ no? a 4 \ f \\

5o5. Dans la question dont il s’agit, on a P— — ;

P, = -^II- — Q = Q t ; et il est nécessaire que a A

h — — h t et f—fx- On déduit des équations exprimant

ces conditions

Il /2a’ a

„ 5 II 5a 4 — 6a’a*+a 4

t < = '3r ânr~

^ Il (19a’ — 6oa 5 a’-+-66a 4 a 4 — 28 a’a'-t-S a*)êa

DE LA MÉCANIQUE , I re PARTIE. 35 1

formules qui font connaître la pression horizontale exercée contre les appuis, et le déplacement du point N où le poids i n est suspendu.

506. Quant à l’action de ce poids pour comprimer et faire fléchir la pièce courbe, on remarquera d’abord, conformément au n° 38o , que si cette pièce, eu même temps qu’elle est chargée au point N du poids ail, supporte le poids p sur chaque unité de longueur de l'intervalle MM', la valeur de la pression T sera donnée par l’expression du n° 35^ , à laquelle on ajoutera l’expression du n° 365, en y met tant pour P et Q les valeurs précédentes. On aura donc pour la partie NM de la pièce, en négligeant toujours

le quarré de — ,

.p pa a (a-f-a) (a+ x) 511 5a 5 — 6fl 3 «’+fla 4

On remarquera ensuite que

formule où l’on devra substituer pour P et Q les valeurs précédentes. Ces deux expressions serviront à déterminer les dimensions de la pièce courbe, conformément à ce qu’on a tu dans le n° 38o. Elles conviendront à la partie NM’ de cette pièce en changeant le signe de a.

507 . Le point de la partie NM de la courbe où la courbure subit le plus grand changement a pour ab-

scisse — or Fr-,- En substituant cette valeur

2 Qâ

dans l’expression précédente, il vient

V' (P«+2Qi)’

pour la valeur maximum de cette expression ; ou en remplaçant P et Q par les valeurs données n° 5 o 3 ,

•y'n (9 a 4 — i 6 a’a — 3oa’ a’-f- 5 a‘)’ e r6oa 3 (5« 4 — 6 a’ a’+a 4 )

La valeur de cette formule se réduit à lors-

que a = o, ou quand le poids ail- est suspendu au sommet C de la pièce courbe. Elle augmente lorsque a augmente négativement à partir de zéro, en sorte que la partie NM de la courbe est sollicitée plus fortement à fléchir lorsque le point de suspension N est placé à gauche du point C , qu’elle ne l’est quand ce point se confond avec le point C. La distance au sommet C du point où il faut placer le poids an pour produire la plus grande flexion est un peu moindre que les * de l’intervalle AM', et la plus grande valeur de l’expression précédente est , à très - peu près ,

^—5.0, 177 a. Ainsi, il existe deux situations du

poids an pour lesquelles la pièce courbe est sollicitée plus fortement à fléchir, dans le rapport de 18 à 10 environ, qu’elle ne l’est lorsque ce poids est suspendu au sommet de la courbe.

5 o 8 . Dans la plupart des ponts en bois (Fig. i 36 ) ou en fer (Fig. 137) formés par un arc, on emploie des conlrefiches qui concourent avec l’arc à soutenir lejmids des parties du plancher voisines des culées. Ces pièces peuvent être dirigées parallèlement à l’arc,

ou vers un point placé immédiatement au-dessus des naissances de l’arc. Elles seraient peu utiles si la construction devait seulement supporter une charge répartie uniformément dans l’intervalle des points d’appui. Mais, comme les ponts sont destinés à supporter des fardeaux qui occupent successivement les diverses parties de cet intervalle, l’usage des contrefiches est avantageux, en ce qu’il diminue l’action exercée sur l’arc , dans le cas où cette action tend à le fléchir avec le plus de force. On ne doit point oublier que les actions verticales exercées aux extrémités supérieures des contrefiches produisent, conformément à ce qu’on a vu n° 47$» des pressions dirigées dans le sens de la longueur des sommiers, auxquelles ces dernières pièces doivent être capables de résister (a).

5oç). Lorsque les arcs sont formés de plusieurs cours de pièces courbes en bois, on peut regarder la

(a) Dans plusieurs ponts en bois ou en fer, supporte's par un arc, les inoises pendantes ou autres pièces par lesquelles le poids du plancher est transmis à l’arc, sont inclinées suivant des directions normales à la courbe. Il s’établit alors aux extrémités supérieures de ces pièces , des pressions ou des tensions horizontales dirigées dans le sens des sommiers; et aux points où les mêmes pièces portent sur l’arc, des pressions horizontales égales aux premières, et dirigées vers le milieu de l’arche. Ainsi l’arc est alors sollicité, non-seulement par l’action verticale du poids de la construction , mais encore par des actions horizontales qui n’existent pas quand les moises pendantes sont placées verticalement. On peut remarquer aussi que, lorsque les pièces qui transmettent à l’arc le poids du plancher sont perpendiculaires sur cet arc, ce poids n’est pas réparti uniformément sur l’intervalle compris entre les culées. La partie du milieu de l’arc est plus chargée , et celles voisines des culées le sont moins , ce qui exige de la part de cet arc une plus grande résistance.

354 LEÇONS SUR LAPPLICATION

pression longitudinale comme étant également répartie sur toutes ces pièces. Le moment d’élasticité s doit être évalué conformément aux n" 5 407 et suivants, en ayant égard à ce que chaque cours de pièces courbes est ordinairement partagé en plusieurs parties dans le sens de la longueur. Ces cours de pièces étant placés en contact les uns sur les autres , serrés par des brides, et les joints étant distribués de manière qu’ils ne se rencontrent pas vis-à-vis les uns des autres, le moment d’élasticité est partout au moins égal à la somme des moments d’élasticité de chaque pièce, moins un de ces moments. Si ces pièces ne sont pas simplement posées les unes sur les autres, mais entaillées à crémaillères, ou assemblées avec des clefs ( comme l’indique la fig. ()3), et si les joints sont croisés comme on vient de le dire, le moment d’élasticité, dans les parties les plus faibles, différera peu de celui d’un solide d’une seule pièce, ayant pour hauteur la somme des hauteurs des pièces, moins une.

5 10. Dans les ponts en fer, les arcs sont ordinairement formés par deux cours de pièces courbes, dont les parties sont liées d’un cours à l’autre par des montants normaux et des croix. Les parties placées les unes au bout des autres, dans chaque cours, doivent être réunies par des liens en fer forgé, fortement serrés, qui présentent à la tension une résistance égale à celle de ces parties. Un arc ainsi formé peut être regardé comme un corps d’une seule pièce, dont le moment d’élasticité e s’évaluera conformément au n° 4io. La pression longitudinale peut être supposée également répartie sur les deux cours de pièces courbes.

DE LA MÉCANIQUE,' l" PARTIE.

lie la liaison des fermes dans les ponts en charpente.

5 1 1 . A l’exception des cas indiqués n°485, les constructions dont on s’est occupé ci dessus présentent un équilibre stable, quant aux changements de ligure qui peuvent avoir lieu dans le plan vertical de chaque ferme. Mais l’équilibre n’est point stable à l’égard des déplacements des parties de la ferme qui auraient lieu d'un côté ou de l’autre de ce plan. 11 faut excepter seulement le cas où les sommiers, dirigés en ligne droite d’une culée à l’autre, seraient formés de pièces attachées les unes au bout des autres, et fixées aux culées.

Cette dernière condition n’étant presque jamais remplie, il .est indispensable de prendre des précautions pour maintenir les fermes dans leurs plans respectifs. On y parviendrait en plaçant d’une ferme à l’autre des pièces horizontales, nommées entretoises, et les assemblant à leurs extrémités avec les pièces des fermes , de manière que l’angle qu’elles forment avec le plan de ces fermes ne puisse varier. Par celte disposition une ferme ne pourrait se déverser, en tournant sur ses points d’appui , sans que toutes les autres ne prissent le même mouvement, et sans que toutes les entretoises ne fussent rompues aux deux extrémités (a).

(a) Cette disposition est principalement applicable anx ponts en fer. L’expérience du pont d’Austerlitz , à Paris , dont les arches ont plus de 32 m d’ouverture, prouve que l’emploi des contrevents n’est pas indispensable. On n’avait point place de contrevents dans la grande arche en fer fondu, de 7a™ d’ouverture, qui forme le pont deSnnderland.mais oh y a ajouté, postérieurement à la construction, quelques liens dirigés diagonalement.

356 leçons SUR l’application

5ia. On maintient les fermes, d’une manière encore plus sure, en ajoutant aux entretoises des pièces dirigées diagonalement dans leurs intervalles. On peut placer ces pièces , nommées contrevents, entre les arcs, dans les plans inclinés qui contiennent les contrefiches, dans le plancher, et dans les plans verticaux ou normaux qui contiennent les moises pendantes. L’effet des contrevents tient à ce que les fermes ne peuvent se déverser sans qu’une partie de ces pièces ne s’accourcisse et que l’autre ne s’allonge. Leurs extrémités doivent être attachées aux pièces des fermes avec des liens de fer fortement serrés. Au moyen des contrevents il n’est plus nécessaire, pour la stabilité de léquilibre , que les eutretoises soient assemblées avec les pièces des fermes de manière que l’angle ne puisse varier au point d’assemblage, mais il faut toujours que les extrémités des entretoises soient attachées aux pièces des fermes.

5,3 Les principales causes du déversement des fermes d’un pont sont l’action du vent, et les secousses qui peuvent être imprimées lors du passage des voitures. On ne peut les apprécier avec assez d’exactitude pour soumettre au calcul l’établissement des pièces destinées à prévenir ce déversement.

ARTICLE XI

Des cintres en charpente sen’ant à la construction des 'voûtes.

5i4- L’établissement des ciutrês exige la connaissance des efforts qu’ils ont à supporter pendant la construction de la voûte.

DE LA MÉCANIQUE, I re PARTIE. 357

On distingue deux espèces principales de cintres : i° ceux qui sont soutenus sur des points d’appui distribués dans l’intervalle des culées; a° ceux que l’on nomme cintres retroussés, et qui sont entièrement supportés par des points d’appui pris au pied des culées, sous les naissances de la voûte.

Des efforts exercés sur les cintres par l'effet du poids des voussoirs.

5i5. Lorsque l’on construit une voûte, chaque assise ou cours de voussoirs est posé sur une pièce de bois horizontale nommée couchis, qui s’appuie sur les pièces supérieures des fermes du cintre. Les couchis exercent sur ces piècesydes efforts dirigés dans le sens des joints des voussoirs, et dont il s’agit de connaître la valeur.

Considérons la portion de voûte représentée fig. i4o, appuyée sur un cintre. L’un quelconque des voussoirs, tel que ABDC, supporte de la part du voussoir placé immédiatement au-dessus une pression normale au joint AB. De plus, comme ce dernier voussoir tend à glisser le long de AB, et que la force du cintre qui le retient n’est pas égale à celle qui tend à l’entraîner le long de AB, mais est diminuée par les résistances provenant du frottement et de la cohésion qui ont lieu sur ce joint, il s’ensuit que le voussoir ABCD est encore sollicité, dans la direction B A, par une force égale à ces résistances. Enfin ce même voussoir est sollicité verticalement par sou propre poids. Nous pouvons le considérer comme un corps appuyé contre le plan incliné CD, sollicité par les trois forces dont on vient de parler, et retenu par une force provenant de la résistance du cintre , que nous supposerons pa-

rallèle au joint CD. D’après cela, nommant

G„ G„ G 3 ,.... G„ les poids des i er , 2 e , 3 e ,.... n‘ voussoirs, en comptant du voussoir supérieur, pour une unité de longueur de la voûte ;

a , , a„ a 3 , a„ les angles formés par les joints in-

férieurs des mêmes voussoirs avec une ligne verticale ;

z,, z 2} Zi , z, les longueurs des joints inférieurs

des voussoirs ;

T,, T a , T 3 ...... T. les pressions normales qui ont

lieu sur ces joints inférieurs ;

R,, B,, R 3 , R„ les efforts exercés sur le cintre

parallèlement aux joints inférieurs de chaque voussoir ;

y et y ayant les valeurs indiquées n° 21 1 ;

et remarquant i° que la force perpendiculaire

à AB, se décompose perpendiculairement et parallèlement à CD dans les deux forces T„, cos. (a„ — et — T„, sin. (<*„ — «*,); 2 0 que la résistance provenant du frottement et de la cohésion sur le joint AB est f T n , -t - yz»,, et que cette force, dirigée suivant B A, se décompose perpendiculairement et parallèlement à CD dans lés deux forces (/T, t -|-yz, 1 ) sin. (a, — a,-,), et (/T„, + y cos. (a„ —

3° que le poids G„ du voussoir A B CD se décompose perpendiculairement et parallèlement à CD dans les deux forces G„ sin. a„ et G„ cos. a, : on voit d’abord que la pression normale exercée par le voussoir ABCD sur le joint inférieur CD est

-T.=T 11 I [co8.(«. — «, t )-»-/sin.

+ yz. I sin.(a„ — h- G.sin.a.;

çt l'on a de plus, pour l'équation exprimant les con-

DE LA MÉCANIQUE, l r " PAM'IE. 35()

ditions de l’équilibre de ce voussoir,

R.=— T.;(i+/*)sin.(«.—

+ yZ,,[cos.(a n — — -ysin.(a, — «»-.)]

+ G . ( COS. a, — /sin. a„) — y Z

516. Au moyen de ces équations, on calculera facilement les pressions désignées par R , en commençant par le voussoir supérieur, et remarquant que T 0 = o , et yz„=o , en sorte que l’on a pour ce voussoir

T, = G, sin. a,,

R. = G, (cos. a, — /sin. a.) — y Z,.

517 . Si l’on suppose nulle la force de cohésion , comme il convient de le faire dans la plupart des applications, les équations du n° 5i5 deviennent

T»— T„, [cos . («, a, ,) -+-/' sin . (a,, — a. ,)] + G„ sin . a„ , ■ R-=— T». (1 +p) sin. (a — a„.)+G„ (cos. a„-/sin.a„) ;

et l’on a pour le voussoir supérieur "

T,=G, sin. a, ,

R, = G, (cos. a, — /sin. a,).

5 18 . On voit, par ces formules , que la pression normale exercée sur le cintre par un même cours de voussoirs varie continuellement à mesure que la construction de la voûte fait des progrès. Le premier cours de voussoirs qui commence à charger le cintre, est

celui dont l’inclinaison est telle que l’on atang. a., < y

( Voyez pour les valeurs de /les n os ao5 et suivants, et a35 ). Quand on vient à poser de nouveaux cours de voussoirs, la pression exercée sur le cintre par celui-

36o LEÇONS SUR INAPPLICATION

ci diminue, et peut même devenir nulle , ou négative. Il en est de même à l’égard des voussoirs suivants; et c’est par cette raison que, lorsqu’on abaisse le cintre d’une voûte avant qu’elle ne soit fermée, on voit quelquefois se soutenir en l’air un certain nombre de voussoirs, qui portaient sur le cintre lorsqu’on les avait posés (a). Chaque cours de voussoirs exerce la plus grande pression possible lorsqu’il n’est pas encore recouvert par l’assise suivante. La pression qu’il exerce diminue après la pose de cette assise; elle diminue de nouveau après la pose de l’assise qui recouvre celleci ; et ainsi de suite,

5 19 . Pour avoir une connaissance complète des actions exercées sur un cintre, et des divers états d’équilibre par lesquels cette construction doit passer pendant la pose des voussoirs, il est donc nécessaire de calculer, par les formules des n os 5i5 ou Si^, les diverses valeurs que prend successivement la pression normale exercée par chaque cours de voussoirs, à mesure que ce cours est recouvert d’un plus grand nombre d’autres. Mais si l’on veut se borner à connaître, pour chaque point de la courbe du cintre, une limite que la pression normale exercée en ce point 11 e puisse dépasser, il suffira de calculer la pression exercée par chaque cours de voussoirs, dans l’hypothèse où ce cours est le dernier posé; c’est-à-dire quo l’on emploiera la formule

R„— G„(cos.a„ — /sin.a.) — yz,;

ou, en négligeant la cohésion,

R „= G„ ( cos. a„— / sin. a„ ).

(«) Voyez ci-dessus u° a3a et suivants, ainsique les ouvrages cités .dans les notes.

DE LA MÉCANIQUE, i” PARTIE. 36l

De V établissement des cintres.

5ao. L’objet que l’on doit se proposer, quand on construit une voûte, est que chaque voussoir placé sur le cintre demeure dans la même situation , jusqu’à ce que la voûte ayant été fermée, et le cintre abaissé, l’ensemble des voussoirs se maintienne, de lui-même en équilibre. La voûte, pendant et après le décintrement, peut, sans inconvénient , subir un léger tas-? sement , produit par l’élasticité de la matière des voussoirs, et par la compression du mortier ou des cales placés dans les joints. Mais un déplacement quelconque des voussoirs, qui aurait lieu avant que la voûte ne fût fermée, ne peut qu’être nuisible. D’après cela, les cintres doivent être disposés de manière que pendant la durée de la pose, le système ne tende point à changer de figure, et que les pièces ne soient pas sollicitées à tourner sur leurs points d’assemblage.

5a i. La figure i4« représente un cintre porté sur des points d’appui placés dans l’intervalle des culées. Les efforts exercés par les voussoirs, perpendiculairement à la courbe du cintre, sur les pièces DD,, D, D,,.... sont transmis aux points d’appui par les

poteaux DE, D,E,, D,E, dirigés dans le sens de

ces efforts. On peut, sans erreur sensible, assimiler les pièces DD,, D,D a ,. . . à une pièce chargée de poids distribués sur sa longueur, et portée horizontalement sur ses deux extrémités. Il sera facile, d’après ce qu’on a vu ci-dessus, de calculer l’effort exercé sur chacune de ces pièces, ainsi que les pressions qui en résultent dans la direction des poteaux DE, D,E,,