Ce système demeurera en équilibre , et ne

tendra point à changer de figure pendant toute la durée de la construction de la voûte. Si les points B, B' sont fixes, et si les trois pièces qui s’assemblent aux points D, D,, D,,. . . . y sont attachées les unes aux autres , l’équilibre est stable , lors même que l’on suppose toutes les pièces libres de tourner sur les points d’assemblage. Il serait utile néanmoins de placer quelques écharpes ou entretoises , comme on l’a indiqué sur la figure : ces pièces consolideraient les poteaux, en s’opposant à ce qu’ils fléchissent dans le sens du plan de la ferme (a).

523 . Lorsque les points d’appui doivent être pris au pied des culées, le cintre peut être disposé de la manière indiquée figure 142.. L’èffort exercé par les voussoirs, perpendiculairement à la courbe du cintre, est transmis par les pièces DD,, D.D., . . aux points D, D,, D,,. . . . où ces pièces s’assemblent les unes aux autres. Les efforts normaux exercés au point D se décomposent dans le sens de la contrefiche DA et de l’entretoise horizontale DD’. La pression qui en résulte dans le sens de la contrefiche est détruite par la résistance du point d’appui A, et la pression dirigée dans le sens de l’entretoise est détruite par une pression égale provenant de l’effort exercé au point D'. Une décomposition semblable a lieu aux points D, , D,,. . . Les pièces DD„ D, D,,. . . sont dans le même état que dans le système considéré n° 52 1 ,et l’on calculera facilement les pressions longitudinales supportées par les contrefiches et les eutretoises.

(<t) On trouve le dessin d’un cintre dispose sur ce principe dans les Report 3 de Smcaton, tome III , page 349-

DE LA MÉCANIQUE, I r ' PARTIE. 363

5ï 4- De système demeurera en équilibre , et ne sera point sollicité à changer de figure pendant toute la durée de la construction de la voûte , si l'on pose en même temps -les voussoirs des deux côtés. En admettant les suppositions indiquées n° 5aa, l’équilibre est stable. Les pièces DE, D.E.j.D^E,, .. indiquées sur la figure ne sont utiles que pour consolider les entretoises et les contrefiches, et en reporter le poids sur les points D, D„ D, . . . .

5a5. On peut encore disposer un cintre retroussé de la manière indiquée figure i /§3. Dans ce cas, les efforts normaux exercés au point D sont immédiatement transmis aux points d’appui par les contrefiches DA, DA'; et ainsi des autres points D,,D,.. . . Les contrefiches ne supportent que des pressions longitudinales qu’il est aisé de calculer.

526. Dans ce dernier système l’équilibre est stable, et le cintre n’est pas sollicité à changer de figure, lors même qu’il y a plus de voussoirs posés d’un côté que de l’autre. Les pièces DE, D,E,, . . . ont le même objet que dans le cas précédent (a).

(a) Il paraît que le principe de cette disposition a été appliqué pour la première fois au pont de Black-friars, construit à Londres, en 1769, par M. Mylne, et dont l’arche du milieu a 100 pieds anglais d’ouverture. 4 System of Mechanical philosophy, par Robison , tome I, page 687. M. Rennie a disposé de la même manière les cintres des arches du pont de Waterloo, dont l’ouverture est de 120, pieds anglais. Voyez la IIP partie des Voyages dans la Grande-Bretagne, de M. Ch. Dupin , TredgoltTs Principles of Carpentry, et les dernières Encyclopédies anglaises. Les voûtes de ces deux ponts, celles,, du dernier surtout qui est construit en granit, étaient très-pesantes, les voussoirs ayant plus de 6 pieds de hauteur.

364 leçons sur l’application

527 . On peut appliquer aux cintres ce qui a été dit à l’égard des ponts en charpente, n° 5i 1 et suivants, sur la nécessité de lier les fermes entre elles.

ARTICLE XII

Des planchers.

5a8. Nous distinguerons principalement, i° les planchers formés par des solives parallèles , portées sur les murs, ou soutenues par des poutres traversant d’un mur à l’autre; a° les planchers formés par des pièces qui ne traversent point d’un mur à l’autre, et qui sont assemblées les unes aux autres; 3° les planchers formés de plusieurs couches de planches jointives, assemble'es à rainures et languettes, dont les directions se croisent , et qui sont clouées les unes sur les autres.

Les planchers de la première espèce ne comportent pas de recherches spéciales. On pourra toujours, d’après les résultats présentés n M 57 et suiv. , 84 et suiv., comparer la résistance des pièces aux charges qu’elles auront à supporter.

5ug. La disposition des planchers de la deuxième espèce, appelés ordinairement planchers d’assemblage, peut être variée à l’infini. L’objet que l’on se propose est d’exécuter la construction avec des pièces dont la longueur soit moindre que l’intervalle des murs. On considérera seulement l’une des dispositions les plus simples, indiquée figure i44- Ce système, formé de quatre pièces disposées symétriquement dans un cadre quarré, peut être supposé chargé par des poids distribués uniformément dans toute l’étendue du cadre,

DE LA MECANIQUE, I re PARTIE. 365

On peut aussi le supposer chargé par un seul poids placé au centre, et dont l’action serait transmise aux quatre points désignés par C, C'. Dans tous les cas, si la charge est disposée symétriquement, l’effet de cette charge sera de faire fléchir le système de manière que les quatre points B, B, B', B' s’abaisseront de quantités égales , et demeureront contenus dans un même plan horizontal. Il suit de là que, considérant à part les deux pièces AB, AB, et les poids qu’elles supportent, on peut les regarder comme formant un système, dans lequel ces pièces seraient assujetties l’une à l’autre de manière que les points B et B' demeureraient nécessairement au même niveau lors de la flexion. On peut dire la même chose des pièces A' B', A' B'.

Nous supposerons qu’un poids 4 II est placé au centre du cadre, et qu’il en résulte un effort vertical II en chacun des points C,C,G', C'. Les extrémités A, A, A', A' des pièces exerceront chacune sur le point du cadre qui les supporte un effort IL On peut donc rechercher les conditions d’équilibre de fappareil proposé en regardant le système des deux pièces AB, AB comme étant supporté aux points C,C sur un axe fixe, et chargé aux extrémités A, A de deux poids IL

53o. D’après cela on considérera deux pièces égales Mn,mN (fig. i 45), chargées aux extrémités M, m des poids II. Ces pièces se croisent sur la longueur N n. L’extrémité de la première est assujettie au point « de la seconde, et l’extrémité de la seconde est assujettie au point N de la première. Les deux pièces portent en C sur un axe horizontal fixe. Le poids II suspendu en M tend à faire tourner la pièce Mn sur le point C; mais ce mouvement est empêché parce qu’un certain

366 LEÇONS sur l’application

effort s’exerce de haut en bas sur le point N, et qu’un effort égal s’exerce de bas en haut sur le point n de cette pièce , par suite de l’action du poids n suspendu en m, et de la liaison des deux pièces. Nous pouvons donc regarder la portion CM de la première pièce comme étant encastrée en C , suivant une direction qu’il faudra connaître, et sollicitée en M par le.poidsll, en N par l’effort dont on vient de parler. Nous pouvons regarder également la portion CN de la seconde pièce comme étant encastrée en C, et sollicitée en N par le même effort. Nous nommerons

les coordonnées' horizontale et verticale d^un point quelconque de la courbe affectée par les pièces, comptées à partir du point C; c la distance AC;

c' la distance BC; V •

f l’abaissement AM du point M; f l’abaissement BN du point N ; w l’angle que la tangente de la portion de courbe CM forme en C avec l’axe horizontal C.r;

11' l’effort que l’extrémité de l’une des pièces exerce ; •••' sur l’autre aux points N,n. . • *•

e et p auront les significations indiquées n° 276.

.Qn aura en premier lieu, pour la partie C N., de la première pièce Mn , , . . . - . , ,y

*^=n(c— x)— n' (c— x ) , djr

! s5= n (cx- x ~) — n' (c'x^~) + tang. w,

. O— " ; . — 11 (.» «•)' J ,jn K

On aura ensuite pour la partie MN delà même pièce

DE LA MÉCANIQUE, I re PARTIE. 36?

en déterminant les constantes de ipanière que, pour

fl y j

= c\ les valeurs de et j- soient égales à celles qui

seraient données par les équations précédentes.

e s= n (^-T)- n 'r +taD «'“’

On aura enfin pour la partie CN de la seconde pièce m N,

La première et la dernière des valeurs dej' doivent éga lement, en y faisant x — c, donner jr=f. Donc

,, /'ce'* c' 3 \ „>c ' 3 ,

*/= n (— -ë)-n— + c tang. c,

tf = n'-j c'tang.w.

L’équilibre de l’une et de l’autre pièce autour du point C exige d’ailleurs que l'on ait

ïlc^all'c'.

On déduit de ces trois équations

ïi'=nA,

L1ÎCONS SUR L APPLICATION

tang