TT { C C ') C

v jf' — 11 (3c — c')c'* .

et en substituant les valeurs de n et tang.w dans l’équation appartenant à la partie MN de la première pièce, puis faisant x=c, ôn trouvera pour l’abaissement AM du point extrême M,

„ n c(ac’ — 2 cc' + c'*)

Si, au lieu des deux pièces Mre, Nm, qui se croisent sur la longueur Nra, on n’avait qu’une seule pièce Mm, supportée en C, et chargée aux deux extrémités du poids II , la flèche de courbure serait, (i’après le n° 55 ,

5. g. L’effet du croisement des deux pièces est de diminuer la flèche de courbure, et d’autànt plus que l’intervalle N n est plus grand. Si les deux pièces se croisent sur toute leur longueur, c’est-à-dire si c'=c, la formule précédente donne, comme cela doit être,

On a respectivement, pour les parties CN et MN de la première pièce, et pour la partie BC de la seconde pièce.

■^-nQ-s+îi),

' dx ' d'y

' dx d

DE I.A MÉCANIQUE, i” PARTIE. 369

Lorsque c'=~c, la valeur de est constante dans

tous les points de la partie CN de la pièce Mn; ea sorte que la pièce est courbe'e daus cette partie suivant

un arc de cercle dont le rayon est — g, et que cette pièce

est également dispose'e à rompre dans tous les points de cette même partie. Si c'est < ±c, la pièce Mn tend à rompre en N, et si c' est >^c, elle tend à rompre en C. On connaîtra les conditions de la rupture, conformément au n° 275, en posant dans le premier cas

et dans le second

Si, au lieu des deux pièces qui se croisent, on n’avait qu’une seule pièce Mot supportée en C, et chargée aux extrémités des poids II, on devrait avoir, d’après le n° 82, p = IIc. On jugera, d’après les équations précédentes , dans quel rapport le croisement des pièces rend le système plus solide.

53 i. Les résultats précédents s’appliqueront immédiatement au système représenté figure 1 44 » chargé de la manière indiquée n° 52 g , et feront connaître la quantité dont les quatre poids H feront fléchir les pièces, ou la valeur qu’il faudrait donner à ces jpoids pour en opérer la rupture.

Si les points d’appui A, A' sont placés au quart des

côtés du cadre, on a c' = ^, et

3^0 LEÇONS SÜR L’APPLICATION

Ainsi le système présente alors une force double de celle de deux pièces ayant une longueur égale à la distance des côtés du cadre, quoique le volume du bois ne soit que de moitié en sus plus grand. Dans la réalité, la force du système dont il s’agit ne serait pas toutà-fait double de celle des deux pièces , parce que les bois sont affaiblis aux points d’assemblage, qui sont précisément ceux où ils tendent à rompre.

532. Si l’on suppose que la section transversale des pièces est un rectangle dont la largeur soit a, p sera proportionnel à a. D’un autre côté, si la hauteur des pièces est réglée de manière que la relation qui, d’après les formules précédentes, doit exister entre p, c et c', soit satisfaite, cette relation le sera encore si l’on vient à augmenter dans un même rapport les quantités a, c etc'. Donc si l’on fait varier dans un même rapport toutes les dimensions horizontales de la fig, i/j4, sans changer la hauteur des pièces, la valeur du poids /j n çapable d’opérer la rupture demeurera constamment la même.

533. Si le système de quatre pièces , représenté figure 1 44, était chargé par des poids répartis dans toute l’étendue du cadre, on trouverait par des calculs semblables aux précédents les conditions de l’équilibre. On ne s’arrêtera pas davantage sur ces recherches, qui n’offrent pas de difficultés, et dont il suffit d’avoir indiqué les principes.

De la flexion et de la rupture des plans élastiques.

534. L’objet que l’on se propose en construisant les planchers de la troisième espèce, indiqués au commencement de cet article, est de formér une masse pleine, comprise entre doux plans parallèles, et dont

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OE LA MÉCANIQUE, i” PARTIE.

toutes les parties sont, autant qu’il est possible, liées les unes aux autres. Les lois de la résistance d’un tel corps, en le supposant homogène dans toutes ses parties, ont été recherchées (a); mais comme l’exposition de ces recherches serait très-longue, et supposerait la connaissance de méthodes analytiques qui n’ont pas encore passé dans les ouvrages et les cours destinés à l’instruction des ingénieurs, on rapportera seulement les résultats les plus simples, et qui paraissent les plus utiles.

535. Considérons un plan supporté horizontalement sur un cadre rectangulaire fixe, et supposons un poids II placé au centre de ce plan. Nommons a , b les deux côtés du cadre, h l’épaisseur du plan,

/rabaissement du centre du plan, où est placé le poids II ;

E ayant la signification indiquée n° 47- On aura

« représentant le rapport de la circonférence au diamètre. La flèche de courbure est réciproque au cube

(a) Ces lois ont été exposées pour la première fois par l'auteur) dans un Mémoire présenté à l’Académie des Sciences en 1820.

*■ * E A 1 (a’+ b' y + (a*+ 3’ b' )' + (a’ -+- 5 * b ■ ) ' ■ + etC '

(3»a* + A*)* + (3’a*+3’^)* + etC '

"** (5’«’ + 3 **-)■ + etC ‘

etc.

37a LEÇONS SUR INAPPLICATION

de l’épaisseur du plan; et pour des plans de figures semblables, elle est proportionnelle à la deuxième puissance des côtés.

536. Le plan étant chargé de la même manière, et le côté a étant le plus petit des deux côtés a et ô, si l’on veut, comme au n° 322, que les fibres placées aux faces convexe et concave du plan ne supportent pas sur l’unité superficielle, par suite de L’action du poids II, un effort plus grand que R', il faudra poser l’équation

24II ab'f 1*

TC* A» (a'+A*)* -1 '

(a'+vy

(5 'a‘+b‘Y \etc.

^ (3“ a* -t- 3*A’)* ^ etC ' + (5*a*-f-3 a A’)* +etC *

et prendre la valeur de II, donnée par cette équation, pour la limite des poids dont on peut charger le plan. Cette valeur est proportionnelle au quarré de l’épaisseur du plan. Elle demeure la même lorsque l’on fait varier les côtés <2 et b dans un même rapport, en sorte qu’elle ne dépend pas de la grandeur absolue des côtés (à).

537 . Supposons maintenant le même plan rectangulaire chargé de poids uniformément répartis dans toute son étendue , en désignant par p le poids placé sur l’unité superficielle. On aura

(a) Cette proposition, analogue à celle qui est indiquée ci-dessus n° 53a , avait été démontrée d’une tout autre manière par Mariotte. Voyez ses Œuvres, tome II, page 168.

DK LA MÉCANIQUE, i" PARTIE.

f xga pa'b'l

J tc*EA 3

i.x(a’-|-£*)‘ i.^a'+yyy ' 4 "i.5(**+5*£*)“

■etc.

-etc.