Considérons présentement une courbe à double

. DE LA. MÉCANIQUE, l" PARTIE. 879

courbure, sur laquelle agissent également des forces normales. On peut la regarder comme un polygone dont les côtés sont infiniment petits, et dans lequel trois côtés consécutifs ne sont pas compris dans un même plan. Les forces seront appliquées à chaque sommet du polygone, suivant la direction du rayon du cercle osculateur. Tout ce qui a été dit dans le n° précédent s’applique à ce système ; il suffit , pour l’équilibre du fil, qu’il soit également tendu dans toutes ses parties , et c’est ce qui aura lieu si la force normale appliquée à chaque point est égale à la tension divisée par le rayon de courbure (a).

545. Lorsque des forces sont appliquées perpendiculairement à une verge courbe solide, et qui ne cède à l’action de ces forces que par urt changement de figure très-petit, dû à l’élasticité, il n’est pas nécessaire, pour que l’équilibre subsiste, que les conditions énoncées ci-dessus soient remplies. La tension exercée dans le

(à) On conçoit nettement l’existence de l'équilibre dans un fil forniant une courbe à double courbure , en se rappelant que, d’après un théorème démontré par Lancret (Mémoires présentés à la première classe de l’Institut, tome I, p. 420), on peut toujours faire passer par une courbe quelconque une surface développable telle que cette surface étant développée, la courbe donnée y tracerait une ligne droite. Cette surface, nommée surface rectifiante , est formée parles intersections successives des plans qui, touchant la courbe, sont perpendiculaires aux rayons des cercles osculateurs de cette courbe. Il suit de là qu’il existe toujours une surface, perpendiculaire aux rayons de courbure de la courbe donnée , sur laquelle cette courbe est une ligne de plus courte distance. Donc le fil pourra toujours être regardé comme étant tendu sur la surface d’un corps solide fixe , où il demeure en équilibre, et où il exerce en chaque point une pression normale.

38o LEÇONS SUR. L’APPLICATION

sens de la longueur de la courbe peut varier d’un point à l’autre. Quant à la manière de connaître la tension longitudinale qui a lieu dans un point quelconque , on remarquera qu’une verge sollicitée par des forces normales ne peut, en général, demeurer en équilibre à moins que ces forces ne se détruisent réciproquement, ou à moins que la verge ne soit maintenue par deux points fixes , si elle forme une courbe plane, ou par trois points fixes , si elle forme une courbe à double courbure. Les efforts exercés sur les points fixesseront déterminés par la condition qu’étant composés avec les forces appliquées normalement à tous les points de la courbe, il en résulte un système susceptible d’être réduit à deux forces égales et directement opposées. La tension des diverses parties de la verge est produite à la fois par les forces normales appliquées à tous les points, et par les forces particulières, appliquées à des points déterminés, et nécessaires pour établir l’équilibre.

Cela posé, si dans une verge courbe MM'(fig. 147 ) sollicitée de la manière qui vient d’être indiquée, et qui forme une courbe non fermée, on veut connaître la tension longitudinale supportée par l’élément mn, on remarquera que cette tension résulte de ce que les forces appliquées aux deux parties de la

courbe se détruisent réciproquement au moyen de la liaison que l’élément mn établit entre ces deux parties. Par conséquent si l’on décompose parallèlement à la tangente de la courbe au point m, toutes les forces appliquées à la partie m M, ou bien toutes les forces appliquées à la partie mM', la somme des composantes ainsi obtenues sera la tension cherchée.