Considérons présentement une courbe fermée

DE LA MÉCANIQUE, l" PARTIE. 38 f

plane MN (fig. 148), sollicitée par des forces normales dirigées dans le plan de cette courbe , et supposons que l’on demande la tension supportée par l’élément mn. Si l’on décompose toutes les forces appliquées à la courbe parallèlement à la direction de la tangente au point m, on remarquera que les points rn,m' dans lesquels la direction de la tangente est la même , partagent la courbe en deux parties , dans chacune desquelles les forces normales produisent des composantes dirigées dans des sens opposés. Si l’on prend les résultantes des composantes parallèles à mn fournies respectivement par les forces agissant dans les parties mMm' et mN/n', on obtiendra deux forces égales entre elles et directement opposées. La destruction de ces forces produit la tension des deux éléments mn,m'ri : on connaîtra donc ces deux tensions , en décomposant l’une des résultantes dont on vient de parler en deux forces dirigées suivant mn et m'n'.

547. Admettons que la figure de la verge MN soit à double courbure , et supposons également que toutes les forces appliquées à la courbe aient été décomposées parallèlement à la tangente menée au point m. Si l’on conçoit la courbe proposée enveloppée par un cylindre dont les arêtes soient parallèles à cette tangente, il y aura un point m’ pour lequel le plan tangent à ce cylindre sera parallèle au plan tangent mené par le point m. Les deux points m,m' partageront comme ci-dessus la courbe en deux parties , dans chacune desquelles les forces normales produiront des composantes parallèles à mn dirigées en sens opposés. Si l’on prend respectivement les résultantes des composantes fournies par chaque partie de la courbe, on trouvera deux forces égales et directement opposées , dont la des-

DE LA MÉCANIQUE, I re PARTIE. 383

il est appliqué suivant une direction normale à la surface. La valeur de la pression exerce'e au point m sera •

— , en désignant par p le rayon de courbure de la courbe

du fil au point m. Si l’on conçoit maintenant le corps supprimé, et que l’on ait appliqué à tous les points m

des forces normales égales à - , l’équilibre Subsistera.

On remarquera qu’il n’est pas nécessaire que les forces T aient des valeurs égales pour tous les fils : il suffit que la tension soit constante dans l’étendue de chaque fil.

Si maintenant on place autrement les points M,N sur la courbe, on pourra former de la même manière un second système de lignes de plus courte distance, el tendre de nouveaux fils qui croiseront les premiers. Si un nouveau fil passant par le points est tendu par la force T', il produira en ce point une pression nor-

male égale à -^7-, p ' représentant le rayon de courbure de la' courbe du nouveau fil au point m , et cette pression s’ajoutera à celle produite par le premier fil. Par conséquent, le corps étant supprimé, on maintiendra maintenant l’équilibre en appliquant au point m une

force normale égale à — I

En continuant ainsi , on voit que l’on peut tendre sur le corps unnombre indéfini de filsappartenantàdivers systèmes de lignes de plus courte distance. La seule condition nécessaire pour l’équilibre est que la tension de chaque fil soit la même dans tous ses points. Si l’on nomme T, T', T", etc. les tensions respectives des fils qui se croisent au point quelconque m , et p , .p', p”, etc. les rayons de courbure des courbes de ces fils au

point m , la pression normale exercée en ce point sera X T 1 X v

— i 1 — ~ + etc. Il est évident d’ailleurs qu’à chaque

point p du contour de la surface , doivent être appliquées dans la direction des divers fils qui partent de ce point , autant de forces respectivement égales aux tensions de ces fils. Toutes ces forces sont dirigées dans le plan tangent à la surface au point p.

$i la surface proposée n’était pas terminée par un contour , et formait une enveloppe fermée, ce qui' précède lui pourrait être appliqué, en considérant que l’équilibre est établi dans des fils tendus sur cette surface, et formant un ou plusieurs systèmes de lignes de plus courte distance. Chaque fil formerait une courbe fermée, la tension serait constante dans toute sa longueur, -et la force nôrmale résultant en chaque point du fil de sa tension, serait égale à cette tension divisée par le rayon de courbure de la courbe du fil. La pression normale supportée par le corps en un point quelconque serait la somme des pressions normales produites par les tensions de tous les fils qui se croiseraient en ce point.

549- H résulte de ce qui précède que, pour qu’une surface flexible sollicitée par des forces normales soit en équilibre , il suffit que l’on puisse décomposer cette surface, au moyen d'un ou plusieurs systèmes de lignes de plus courte distance, eu bandes infiniment étroites regardées comme des fils , et que les forces normales appliquées à chaque point intérieur, aussi bien que les forces tangentielles appliquées à chaque point du contour de la surface, étant réparties entre les divers fils, chacun d’eux soit en équilibre. Une surface quelconque parfaitement flexible étant donnée, il y a une

1)E LA MÉCANIQUE, I re PARTIE. 385

infinité de systèmes de forces, appliquées perpendiculairement aux points intérieurs et tangentiellement aux points du contour, qui peuvent être en équilibre au moyen de cette surface.

550. Considérons une surface parfaitement flexible, maintenue par un contour fixe , et sollicitée par des forces normales telles que la surface est en équilibre et ne tend pas à changer de figure. On peut demander comment l’équilibre est établi , quelle tension la surface supporte en chaque point suivant une direction déterminée, et quels sont les efforts exercés sur chaque point du contour fixe. Cette question n’est pas, en général , susceptible de solution , tant que l’on regarde les éléments de la surface comme inextensibles, parce que l’équilibre peut être établi d’une infinité de manières, entre lesquelles on ne peut choisir. Mais si l’on suppose les éléments de la surface extensibles, la question est déterminée.

Du cas où une surjace sollicitée par des forces normales est également tendue dans tous les sens.

551. Soitune surface parfaitement flexible et inextensible, sollicitée par des forces normales, et supposons l’équilibre établ i entre ces forces , et les efforts de tension qui ont lieu dans le sens de la surface. Admettons que l’onait tracé sur la surface une ligne quelconque de plus courte distance, et considérons la portion de la surface formée par une bande dirigée suivant cette ligne , et ayant une largeur constante et très-petite : cette bande sera tendue suivant sa longueur avec une certaine force. Cela posé, on dit qu’une surface est également

386 LEÇONS sur l’application

tendue dans tous les sens, i° si la tension de la bande est constante dans toutes les parties de sa longueur, 2 0 si la valeur de cette tension est la même, quelle que soit la direction de la ligne de plus courte distance suivant laquelle la bande est tracée.

Soit X la largeur de la bande, qui doit être supposée infiniment petite , et 0 la valeur de sa tension longi-

tudinale, qui le sera également : le rapport ^ = T représente la tension des parties de la surface rapportée à l’unité linéaire. La quantité finie T donne la mesure de la force avec laquelle la surface est tendue.

552. Soit N N ( fig- i5o) une portion du contour d’une surface également tendue dans tous les sens. Il est nécessaire, pour que l’équilibre soit maintenu, que des forces dirigées dans le plan tangent à la surface, soient appliquéesà chaque point du contour. On peut regarder ce contour comme étant composé de parties infiniment petites bc , dont la longueur est égale à X, et supposer que les forces distribuées sur l’intervalle bc sont appliquées au milieu a de cet intervalle. On peut également regarder la surface comme étant formée d’une infinité de fils ou bandes infiniment étroites, dirigées suivant les rayons du demi-cercle décrit des points a avec le rayon ^X. Les forces tangentielles appliquées à chaque point a devront faire équilibre aux tensions des bandes partant de ce point. Soit rnnqp deux des bandes dont il s’agit, dont les directions forment avec la normale ad

desangles ca. La largeur/?^ deces bandes sera -</<a,leur

tension T-Jw et la résultante des tensions des deux 2 '

bandes, TXr/w . cos.w. La somme de toutes les résul-

tantes semblables, ou l’intégrale T \f du. cos.w, dont

la valeur est Tx, est la force qui doit être appliquée au point a. Ainsi l’équilibre d’une surface également tendue dans tous les sens avec la force T , exige que des forces égales entre elles soient appliquées perpendiculairement au contour de la surface dans tous les points de ce contour, et que la valeur de ces forces, pour une unité de longueur, soit T.

553. Étant donnée la figure d’une surface considérée comme un tissu parfaitement flexible et inextensible, il existe toujours un système de forces appliquées normalement à tous les points intérieurs, par l’effet duquel la surface serait maintenue en équilibre , et également tendue dans tous les sens. Soit M (fig. i5i) un des points de la surface , et supposons que l’on ait décrit de ce point comme centre, et d’un rayon infiniment petit, égal à -, un cercle. Considérons une des

bandes infiniment étroites mnpq, tracées suivant les directions des lignes de plus courte distance qui se croisent au point M. Désignons par r le rayon de courbure de la section normale de la surface, laite au point M dans la direction de l’axe de cette bande, et par u l’angle de cette section avec le rayon fixe AM. La lar-

geur mn ou pq de la bandé sera -rfw, et la force avec laquelle elle est tendue, T "dw. Ainsi regardant cette bande

comme un fil isolé, on la nantie ndrait en équilibre en appliquant au point M , perpendiculairement à la surface, une force dont la valeur, rapportée à l’unité

388 leçons sur l’application

de longueur, serait, d’après les numéros 53o et 53 1 ,

T.^du. p; et pour l’intervalle mnpq, du. ou V i

T. — ■ -d&. Si l’on considère également une autre bande

m'n'p'q' dirigée perpendiculairement à la première, en désignant par r’ le rayon de courbure de la section normale faite dans la surface suivant la direction de

la nouvelle bande, on aura de même T.--—,db> pour

la valeur de la force qui, étant appliquée sur l’intervalle m'n'p'q 1 perpendiculairement à la surface, maintiendrait cette nouvelle bande en équilibre. Si l’on

prend donc la somme des quantité

dans une étendue égale au de la circonférence à compter du point A, on aura la somme des forces qui, étant appliquées normalement à la surface , dans l’étendue du cercle décrit du point M , font équilibre à la tension de toutes les bandes qui se croisent en ce

point. Or on sait que la valeur de la quantité ~ + ~

est indépendante de l’angle o>, et qu’en nommant p,p' les deux rayons de courbure principaux de la surface

pour le point M, cette valeur est ^ 4- Donc l’intégrale cherchée estT^-^ -+™^. La surface du cercle décrit du point M avec le rayon étant d’ailleurs -^-,on voit donc que la quantité

représente la valeur de la force normale qui doit être

DE LA. MÉCANIQUE, l r ' PARTIE. 38g

appliquée au point M ( cette valeur étant rapportée à l’unité superficielle), pour que la surface soit également tendue dans tous les sens avec la force T (a).

554- Si les deux rayons de courbure étaient égaux et de même signe, propriété qui appartient à la sphère,

la force dont il s’agit serait — • On voit par là que la

même pression normale qui pourrait produire une tension T dans le sensdesélémentscirculaires d’une surface cylindrique , produirait dans tous les sens une tension - T dans une surface sphérique de même diamètre.

Applications a des vases de diverses figures.

555. Nous considérerons en premier lieu des vases contenant un fluide qui exerce du dedans au dehors une pression , et dont les parois sont planes. Ces parois sont généralement tendues dans la direction de la surface, en même temps qu’elles supportent une pression normale. Le cas le plus simple est celui d’un tuyau rectiligne dont les parois sont formées par des plans parallèles à l’axe de ce tuyau ; par exemple le tuyau rectangulaire AH (fig. i5a), que l’on suppose ouvert par les deux bouts. Les parois ne sont point tendues dans le sens de la longueur du tuyau , mais dans le sens de sa largeur seulement. Considérant une partie mq' de ce tuyau, on peut regarder les portions mnn' m' et pqq'p' des faces inférieure et supérieure, comme étant tendues respectivement, parallèlement aux côtés mm' ,pp ', par l’effet des pressions opposées qui s’exer-

(a) Il est aisé de voir que l’on parviendrait au même résultat, en considérant toute autre figure dont le point M serait le centre.

3qo leçons sur l’application

ceat sur les portions mnqp ,m'n'q'p' des faces latérales, avec une force égale à la moitié de la pression exercée sur chacune de ces dernières portions. De la même manière, chacune des portions mq,m'q' sera tendue parallèlement à mp,m'p' avec une force égale à la moitié de la pression exercée dans l’étendue mn' ou pq'. L’une quelconque des portions de paroi dont il s’agit, telle que mn qp , peut donc être regardée comme une pièce qui est à la fois tendue suivant sa longueur, pressée par des forces normales distribuées uniformément sur cette longueur, et supportée sur ses deux extrémités. On peut lui appliquer l’analyse du n° 489 , et légler la force de la paroi d’après l’équation du n° 4qo. c désignera la moitié de la longueur mp; Q, la moitié de la pression normale exercée sur mn' ou pq\p, la valeur de la pression normale exercée sur mnqp pour une unité linéaire mesurée sur la longueur mp.

556. Si le tuyau était fermé par les deux bouts , ou par un bout seulement, ce qui précède ne pourrait plus être rigoureusement appliqué. Mais , en procédant comme il vient d’être dit, on connaîtrait une limite d’après laquelle on serait assuré de donner à chaque paroi une force plus que suffisante. Considérons, par exemple, un vase quadrangulaire et vertical ABGH (fig. i53), ouvert par la face supérieure, dont le fond repose sur un plan horizontal fixe, et qui est rempli d’un fluide pesant. Si le fond du vase n’existait pa^ , onpourrait appliquer à chaque élément transversal mq ce qui a été dit dans le n° précédent, en faisant attention que la pression du fluide augmentant avec la profondeur, ces éléments ont à supporter des efforts d’autant plus grands qu ils sont placés plus loin de la surface supérieure du fluide. Mais si le fond du vase existe.

DE LA MÉCANIQUE, I rc PARTIE. 3g l

comme ce fond attache les unes aux autres les quatre parois latérales , il empêche qu'il ne s’établisse , dans le sens des longueurs mn des éléments, des tensions aussi grandes, et que ces éléments ne se courbent autant en cédant à la pression normale. Le résultat du calcul indiqué ci-dessus donnera donc, pour les parties des parois, des épaisseurs qui surpasseront d’autant plus les épaisseurs réellement nécessaires que ces parties seront plus voisines du fond du vase.

557 . Si le vase était entièrement fermé, les parois seraient tendues suivant plusieurs directions. Si, par exemple, le vase rectangulaire AH (fig. 1 53) est fermé par les deux bouts, et contient un fluide pressant du dedans au dehors, l’unc quelconque AF des faces est tendue suivant deux directions parallèles aux arêtes AB et AE. Cette face peut être regardée comme appartenant à un tuyau rectangulaire dont l’axe est parallèle à AB, ou à un autre tuyau rectangulaire dont l’axe est parallèle à AE. Si l’on considère successivement ces deux tuyaux en les supposant ouverts par les deux bouts, et si l’on applique ce qui a été dit n° 555, on obtiendra des résultats d’après lesquels la force de la paroi AF se trouverait nécessairement fixée au-delà de ce qui est nécessaire. L’excès de force qui lui serait dorçué, si l’on adoptait ces résultats, serait d’autant plus grand que la longueur des tuyaux serait moindre par rapport aux dimensions transversales.

La recherche du véritable état d’équilibre des parois, dans des cas de ce genre, comporte une analyse particulière, qui ne peut être exposée ici.

558. Si les parois, ail lieu d’être planes, étaient formées par des portions de surface cylindrique, on pourrait faire usage des notions précédentes , en appliquant

3g2 LEÇONS SUR L’APPLICATION

les résultats présentés ci-dessus, article VI, sur la résistance des pièces courbes.

55g. Considérons maintenant un vase dont la paroi est courbe, et en premier lieu un tuyau rectiligne ouvert par les deux bouts. Supposons que le fluide contenu dans ce tuyau exerce sur tous les points d’une même section transversale des pressions égales, ou que l’on peut supposer égales sans erreur sensible, comme dans le cas où les gaz ou l’eau coulent dans des tuyaux d’un petit diamètre. La paroi du tuyau n’est pas tendue dans le sens de sa longueur, mais seulement dans le sens des sections transversales. Un élément transversal du tuyau peut être regardé comme une bande ou un fil sollicité par des forces normales dirigées dans son plan. Ces forces étant égales dans tous les points, le fil ne peut être en équilibre,» moins que le rayon de courbure n’ait aussi une valeur constante. Ainsi la paroi tendra à changer de figure, à moins que la section transversale du tuyau ne soit circulaire.

La section étant supposée circulaire, soit/; la valeur de la pression normale produite par le fluide sur une unité superficielle de la paroi , et considérons un élément transversal du tuyau, dont la longueur, mesurée sur l'axe, soit égale à l’unité linéaire./; représentera égament la pression normale exercée sur une unité de longueur de la circonférence de cet élément. Par conséquent, nommant r le rayon du tuyau, on aura, d’après le n° 5/|3, pr pour la tension qui s’établira dans le sens de cette circonférence. Ainsi l’on dira que la surface du tuyau est tendue dans le sens des sections transversales avec la force pr. On voit que la tension résultant d une même pression normale intérieure croit proportionnellement au rayon du tuyau.

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DE LA MÉCANIQUE, l re PARTIE. 3g3

Désignant par h l’épaisseur de la paroi , supposée constante , et (comme au n° ia4) par II' la plus grande tension que l’on veut faire supporter aux fibres sur l’unité superficielle, ou pourra régler l’épaisseur de la paroi en posant l’équation

R 'h=pr.

56o. Si la section transversale du tuyau n’était pas circulaire , la paroi tendrait à changer de figure , et en changerait effectivement si elle était formée par un tissu flexible. Si elle est formée par une substance solide, la figure ne changera pas totalement, mais sera légèrement modifiée par l’effet de l’élasticité de cette substance. La matière de la paroi est alors sollicitée de deux manières, i° par l’effet du changement de courbure , qui étend ou comprime les fibres près des faces extérieures ou intérieures; i° par l’effet de la tension qui s’établit dans le sens des sections transversales, tension qui varie d’un point à l’autre de ces sections, et qui étend les fibres dans toute l’épaisseur de la paroi. La modification que supportent les parties par l’effet du changement de courbure est, dans la plupart des applications, peu considérable; elle peut être déterminée au moyen des principes exposés ci-dessus, article VI. Quanta l’effet de la tension causée par la pression du fluide, qu’il importe ordinairement le plus de considérer, soit MN (fig. i54) la section transversale du tuyau , et supposons que l’on veuille connaître la tension supportée par cette section dans le point m. On mènera la tangente mp , et une autre tangente nq parallèle à la première. On remarquera ensuite, conformément au n° 546, que les pressions normales exercées par le fluide sur les portions de courbe tnMra ou

3q4 leçons sur l’application

mN«, décomposées parallèlement aux lignes mp,nq , équivalent aux pressions exercées sur la ligne/>ÿ, qui leur est perpendiculaire; d’où il suit que l'on aura la tension exercée en m , en prenant la moitié de la pression que le fluide exercerait sur pq. On voit que la tension des diverses parties de la paroi est proportionnelle à la distance des deux tangentes mp,nq.

56i. Si le tuyau rectiligne dont il s’agit était fermé par un bout , la résistance du fond s’opposerait au changement de figure de la paroi, et à l'extension des sections transversales. Cette paroi serait doue sollicitée moins fortement, surtout dans la partie voisine du bout fermé. Il en serait de même , à plus forte raison, si le tuyau était fermé par les deux bouts. Mais, dans ce dernier cas , en vertu de la pression du fluide contre les deux bases du tuyau, la paroi supporterait une tension dans le sens des arêtes de la surface cylindrique, en même temps qu’elle en supporterait une dans le sens des sections transversales. Si la section transversale du tuyau est circulaire , on a , en conservant les dénominations du n° 55g,p.^r' pour la pression exercée sur les fonds opposés, et par conséquent

, ou — pour la force avec laquelle une portion

de la circonférence du tuyau égale à l’unité linéaire est tendue dans le sens des arêtes. Ainsi , la pression du fluide étant supposée uniforme dans toute l’étendue du tuyau , la tension qui a eu lieu dans le sens des arêtes est la moitié de celle qui a lieu dans le sens des sections transversales. Si lu section transversale du tuyau n’était pas circulaire, la tension qui aurait lieu dans le sens des arêtes serait encore uioiudre par

DE LA MÉCANIQUE, I re PARTIE. 3g5

rapport à celle qui aurait lieu dans le sens des sections transversales.

562. Soit un vase cylindrique d’une longueur indéfinie, dont l’axe est horizontal, et qui contient un liquide pesant. MAN (fig. 1 55) représentant la section transversale de ce vase, et MN le niveau de la surface du fluide, la pression normale qui aura lieu en un point quelconque m de la section sera proportionnelle à la distance mp. Par conséquent, si la paroi du vase est formée par un tissu flexible , la condition de l’équilibre, conformément au n° 543, sera que le rayon de courbure au point m soit réciproque à la distance mp, ce qui détermine la nature de la courbe MAN. En rapprochant ce qui vient d’être dit des n°* 47 et 55, on verra que la figure de cette courbe est celle qu’affecterait un ressort homogène, d’une largeur et d’une épaisseur uniforme, dont la figure naturelle est rectiligne, et qui serait tenu plié, au moyen d’une corde attachée au point M au point N. La courbe est également tendue dans tous ses points , et on connaîtrait la tension en supposant que le poids du fluide contenu dans le tuyau est appliqué au point O, et décomposé suivant les directions des tangentes MO, NO, menées aux points extrêmes. Il est évident que l’équilibre C.xige que les points M,N soient fixes, ou que la courbe y soit tirée par deux forces égales à sa tension , et dirigées dans le prolongement de ces tangentes.

563. Si la section transversale du cylindre horizontal n’a point la figure qui convient à l’équilibre, et si la paroi est faite d’une matière solide, elle est légèrement fléchie par l’effet de la pression du fluide. L’état de flexion de cette paroi, aussi bien que la tension qui peut

5 g 6 ^ leçons sdh l’application

avoir lieu dans le sens delà section transversale , dépendent à la fois de la figure de cette section, et de la manière dont le vase est supporté : on peut les déterminer parles principes exposés dans l’article VI de la présente section.

564- Si le même vase cylindrique était fermé aux deux extrémités , les parties voisines de ces extrémités seraient sollicitées avec moins de force dans le sens des sections transversales. La paroi serait de plus tendue parallèlement à l’axe. La valeur totale de cette tension serait évidemment égale à la pression exercée par le fluide sur chacune des bases du cylindre : mais on ne peut connaître exactement la manière dont cette tension est répartie sur les différentes arêtes de la surfacecylindrique, à moins de considérer la paroicourbe et les deux bases comme un seul corps élastique, et d’en déterminer complètement l’état d’équilibre.

565. Lorsqu’un fluide est contenu dans un vase entièrement fermé, et où la pression est égale dans toutes les partiès, la paroi, si elle est flexible, ne peut se maintenir en équilibre, à moins que sa figure ne soit celle d’une sphère. Dans ce cas , conformément au n° 543 et 554', nommant p la pression intérieure sur une aire égale à l’unité superficielle, et r le rayon de la sphère, la paroi est tendue dans tous les sens avec la force \pr-, en sorte que, si h est l’épaisseur de cette paroi, on devra, pour s’assurer que cette épaisseur est suffisante, vérifier l’équation

R 'k=-.'-pr.

Il en serait de même si la paroi, formée d’une substance solide homogène, avait naturellement la figure