d(i—ax)(1—2ax+ œ?)\—1 da

(43) (— x?) LES à

d(i— a} (1—02ax + a) t

dx x

Cette identité, qu'on peut facilement vérilier, est très intéressante. Elle nous permettrait de trouver directement la forme (15) des polynomes P,(+, À) et l'équation différentielle (à 7 Elle se prète en outre à des généralisations étendues.

L'identité (41) nous conduit aussi à cette autre identité du du

(42) (1 — x?) re Von

où l’on a posé

u ={(i1—2ax + a);

en remplaçant & par son développement dans (42), on obtient la relation

(43) Q—2)P,+(n+i1)P,—(n—22)xP,=o.

L'identité du du (1 Cher + (æ aa — 2huc

résulte de l'identité (42), comme on le voit en les retranchant membre à membre; elle nous conduit à la relation

(44) (1 — re He (nr + 1)æPhi—(n Se A)P,=0

En considérant les relations (43) et (44)comme un système d’équations différentielles définissant P,etP,,,, on pourrait retrouver l’équaon 2)

En additionnant et en reiranchant les égalités (43) et (44) on aura

les relations

U—e) (Pin tPr )+(n+i)Psss—(n—2X)P,=o, CO NB RE PEER D) PEU n NP —0;

4 see . 7 . M, .

à l’aide desquelles on pourrait retrouver les équations différentielles auxquelles satisfont P,,, + P,et P,,,—P,, polynomes que nous avons désignés par R,,, etS,.,.

— I ; ESS - l'équation en + (45) PARA 0 a toutes ses racines réelles, distinctes et comprises entre +ret — 7. C'est une propriété qui résulte de la relation (30) et qui appartient à tous les polynomes de Legendre généralisés. Car si U, est un polynome de degré m» en x tel que

1 CAM EURE LAEET (men),

la fonction 9(æ) restant positive dans l’intervalle d'intégration, l’équation U,, = o a toutesses racines réelles, distinctes et comprises entre a et b. On le démontre par la belle méthode que donne Legendre pour ses polynomes X,.

La relation récurrente

nP,(xæ,À)+2x(i—n+1)P, (x, À)+(n—2—2)P, (x, À) =o

nous permet d’étudier l'équation (45) dans l'intervalle — 71 à +7, A I .

même pour ÀZ=» car elle nous montre que la suite des polynomes

(46) DL 2 Pitt

jouit des propriétés d’une suite de Sturm, £,, €,, ..., €, étant l’une des deux quantités +1 où —1 convenablement choisie. Les valeurs de P;(æ, À) pour æ =+1 etx =—1 seront données par

2À(2À—1) , PL D) a Pr, 1e = h—- 24 … a?

ms tés 0S

P,+aP;(—i,À)+aP,(—i, À)+...=1 + 2040 +

29 — Si, par exemple, 2X > nr —1, l'équation (45) ne peut avoir qu’une seule racine réelle (x — o) comprise entre — 1 et +71, Ceci résulte du fait que la suite (46) sera

Eur P;, eue Ph, Æ pe re Ps, = pe Eur LS 2035

P,;et P,;, étant de signes contraires et le nombre des variations n+I

présentées par cette suite, pour æ =1, est égal à la partie entière de et, pour æ =—1, elle en présente un nombre égal à la partie entière de Supposons aussi À entier et plus petit que »; P,(æ, À) sera un polynome de degré 2X — n et l’on devra prendre pour (46) la suite