A PT CU
P,s: et P,.;., étant de signes contraires. Dans ce cas aussi, l’équation (45) ne peut avoir qu’une seule racine réelle (x = 0) comprise CHINE 1e Les racines de l'équation (45) sont séparées par les racines de l'équation Pr ii) —0;
comme 1l résulte de la relation (27).
: te :
STE te = l'équation P;41 (2, À) + P,(x, À) —=0
a toutes ses racines réelles, distinctes et comprises entre + 1 et — 1; ceci résulte de l'égalité (18).
18. Considérons le polynome P,,(x, À); c'est un polynome de degré 2 en +° et si nous posons æ?— 3 l'équation différentielle à laquelle satisfait P,,(æ, À) deviendra
d? / z(1— 53) . + ÉMOTION EC
Donc, en introduisant la fonction hypergéométrique F(x, 6, y,æ), nous voyons que l’on a
PACE) = Pl: (on) F(— n,n—ù, 2),
ou bien en remplaçant P;,,(0, À) par sa valeur
ÀA(A— 1)... (1 — (47) P:,(æ, À) = LEA. Ur (- ñ, n— 1, = #).
En dérivant par rapport à & les deux membres et en tenant compte de (27), nous aurons, pour les indices impairs,
nl
(48) Pinn(æ, À) — PÉEN) 2% F(- no n—À+I, . =}
De la relation (47) on déduit, en tenant compte de la formule
connue r(p + :) r(u + 2) 2 >
DRE por)
T sf (cos )r (sino)# do —
que l’on a
sh PA (x coso, À) (sino}4 do
= I ou.
dé n! Fu +1)
Mais les polynomes de Jacobi satisfont à l'égalité
dr rest AS dx" —=(u+i)(m+2)...(u+n)F—n,n—2 p+1,x)
æ be 1— ZX Ju +1
De la comparaison de ces deux dernières égalités on déduit
d' Læ+tb( es roi hEN]
dx”
27€ = A f P,,(Væ COso, ) (sino)# do,
(49) Con
A la constante correspondante et 4 > — =:
Comme , TC d Pin (Væ cos ®, ).) (sin D) ai 0.
ee
nous concluons que T a il (i — 2Vax COSE + a)" (sino})#" do
est une fonction génératrice des polynomes (49) de Jacobt pour
De
19. La relation (33) peut s’écrire, en vertu de la relation (27),
2À Ph 1x, À—1) — 2x P,(x, À —
Dinpeer
Elle nous montre sous cette forme que si r» augmente indéfiniment, , I A P;Cx, A)est de l'ordre de = P,Cæ, À — 1); donc, sio <À<1, P,(æ, À) est de l’ordre n-*-', comme il résulte de l'égalité (24) valable, comme nous l’avons vu pour 0 > À >>— 1. On démontre de proche en proche, à l’aide de l'égalité précédente, que, pour toute valeur de > 0, P, (x, À) est de l’ordre de nr".
De mème, de la relation (43) que nous pouvons écrire
(nr + 1) Pr (æ, LES (a TE 21)æP;(x, À) 2À(1— x?)
= PACE, À ni
on peut voir, de proche en proche, que, pour toute valeur de À << — 1, P,(æ, À) est de l’ordre de n7X°* si[æ| 1.
P,(æ, À) est donc bien, quel que soit À et pour |x| 1, de l’ordre és r
