L'intégrale définie +1 Do <: (1— x?) (BEC ANPYz
se calcule facilement en nous servant de la forme (15) du polynome P,(æx, À). On arrive, aprés des Intégrations par parties, à
ail ASE 10 (1 — x?) APM
SE
À ONE re JDN #» +1 NE per . . 1 —— | (0) | ide.
Mais Ed ei ++ ne 1 | (32) Î (1 | G—a%de— | Cha ee T(u a) | 1) 0 v 0 Vs r( =) aus
donc
sil s 1 il (= x)) ?P2(7, À) dx
fa À 2À(2À—1)...(2À—n—+i) rfi)
re L
ie À — à nl (1 —))
15. Reprenons le développement (13) (D LEO = CP EN atp ee, et dérivons-le par rapport à x et par rapport à æ, nous aurons (D n/a) care) MD GP, +... LmdtiP à...
Ge) haleine) al) ee. at(P) 2h.
De la comparaison de (13,) et (13,4) nous déduisons
(38) AIR CNRC deb; (Cr).
en — De même de (13) et de (13,) nous déduirons — 21 P,(æ, 1) = [Prune 1)—2z[P,(e, DIe+[Pri(e, 2): Et de ces deux dernières relations on a (34) 2(n—2A)P,(x, À = [Pine AJ [Pa(as A)]2:
En faisant dans cette égalité z —o, 1, ..., » et en additionnant
ces n + 1 égalités, nous aurons
k=n (35) D 2(E— 2) Pr, à) = [Pru(z, À) Pr(a, IS:
=0 De (13) et de (13,) on déduit la relation récurrente (26) (rt1)P, tx 1) ot n)2P,(2, À) Er 240 PC 0 —0.
14. Le polynome P,(x, À) peut se mettre sous la forme d’un déterminant. Posons, en effet,
YnX Œn 0 0 O x Yn—i ZT Xn—1 (9) O ner BE relire NO DU CET (e) AT— , MR : [e) o DR. TRS UE > OT PCR 0
On voit facilement que l’on a la relation récurrente (37) A ro Ya tAs + An BA 0
et que le déterminant A,, qui est un polynome de degré r en æ, ne dépend pas séparément des quantités «,, «,,, .….,@ et 3», Bns, .., B», il ne dépend que des produits &,; 6,;. En prenant
(38) PRES ne Te At NS
mn nm
les relations récurrentes (36) et (37) deviennent identiques, et comme
AD et A, P;,—=—24(1— À) + À,
il S'ensuit que, avec les valeurs (38) de «, 6 et y, on aura
Pt À) —— IAE
15. Vérifions à l’aide des relations (33) et (34) que P,(x, À) “te à l'équation différentielle (12). Cette équation peut s’écrire
d(xP,—nP,)
dx
Fe L(21—n)(xP,—nP,)—=o ou bien, d’après (33),
P,—xP,, +(2à — RD 0 ou encore
Pin lrP— (nr = 7r)Pl,=] 2(2— À —1)P m0:
Ce qui devient, en tenant compte de (33) et (34), P,—Pis—(P,—P,:):= 0.
16. Des développements (13) et(13,) on déduit Les développements
(39) (1—ax)(1—2xx + RES (1 3) PACE IEEE
(40) (= @ )G—aaz +) — P,(&, dar.
Le premier membre de (4o) est précisément l’expression (17); nous retrouvons donc le résultat établi, que cette expression est une fonction génératrice des polynomes P,(æ, À).
En dérivant (39) par rapport à & et puis en multipliant les deux
s 4 SNS membres par (1—æx*) *, nous aurons
(1 — a nt — ax)(1—2ax + a)
us ee =Y —— Lu Ê) tr) RP (Tr last.
En tenant compte de l'équation différentielle (12), qui peut s’écrire
se
re Ga) P'(æ, à),
et de la relation (27)
PÈCe À) — — 2À Pr, nee 1) l'égalité précédente nous conduira à l'identité
