Remplacons dans le développement (13) x par e

/— a par PAU ee nous aurons

a?— 2aæx\} — 4 =; a EP Re CRE md nn ( a ) TT ( “ ) PA( 247 = à).

Faisons croitre À indéfiniment par des valeurs négatives; le premier

membre deviendra, à la imite, e ? , ce qui est précisément la

fonction génératrice des polynomes U, d'Hermite ) = x? d' e ?

LC i RER ne \ ) dx Nous aurons donc

e ; — «à \° / 5) = 1) Ta dr A0 ae 20 (l > as 2 à ) lim 2 À ) PA (x \ YU 1) ANR dar

M. Appell (®) a démontré cette égalité limite en partant des polynomes de Jacobi qui coincident avec nos polynomes P, (x, À), exprimés par une fonction hypergéométrique, donc d’une égalité analogue à (15).

wI >

a > NOUS aurons 2 À

P (- CS 2ÀA(2À—1)...(2—n +1)

Remplaçons, en effet, dans l'égalité (15) æ par t\/

2 À Un! (2k—1)(21—3)...(2Â1—2n+1) ; Are ir dr (ir a ) ax? ? 2À x (+) = ,

En faisant croître À, par des valeurs négatives si a > o pour ne pas introduire les imaginaires, vers l'infini, nous retrouvons légalité (50). Il y a une infinité d’autres polynomes qui se réduisent comme cas limite aux polynomes U, d'Hermite. En effet, si nous considérons le développement suivant les puissances de x de l’expression

(51) [i—20x a+ pa, æ) |,

2(x, æ) étant un polynome en «et x tel que

o(o, Le 0) et Ào (a 4/5)

tend vers zéro pour À infini, les coefficients des puissances de x dans le développement de (51) seront des polynomes qui se réduisent, comme cas limite, aux polynomes U,, comme P,(x, À).

(1) OEuvres, t. IL, p. 301.

(2) Journal de Mathématiques pures et appliquées, 1882, p. 214.

EN

oo

Fonctions associées aux polynomes P,(x, À).