Considérons la fonction

(52) 0:17) = aa) ED de (<=),

à laquelle on est conduit lorsqu'on cherche le développement de — en série des polynomes P,(x, À), y étant en dehors de l'intervalle de —1 à +1. Cherchons l’équation différentielle linéaire à laquelle satisfait cette fonction. Remplacons, pour cela, P,(æ, À) par sa valeur tirée de

({i—x?)P,(x, À)+(24—1)xP!,(x, À) + n(n—2à)P,(x. À) = 0.

Nous aurons

fn je G+aæh. G+a} "dP!(æ, à) À) [ æx(i—x? SES cp ip. (æ, D pe = — — 2( — 1)

on nr Après une __. par parties de la première . il nous restera n(n—2à)Q,(y, À)

22 D SA 2\2 ! A nee

Hs juan reed CREER | + f (Pt rar 1 Ex (rt)

Le crochet s'annulant aux deux limites, nous aurons, après une nouvelle intégration par parties, la partie intégrée étant nulle,

(y— x} Pr) ar:

De (52) on déduit par dérivation entre AL 1 (a Fe x)

Def) $ AS (55) Q(y, À) = il ne À) dx.

(54) oue— ASE

ne, de

Considérons, à présent, l'expression

(56) E = (1 — }?) 2 (00 À) É (2A—1)y O0 À) a n(n TS 2À) Q:(Y: À). En remplaçant Q,, Q’, Q° par leurs valeurs (53), (54), (55), nous

aurons après des réductions

Nes Mar) (r y) .

E — — SR D ANR ETS 2 Ten Gers (1— x?) P°(z dde

Ce qu’on peut écrire aussi

+1 he 4 Q— ax?) ?Pr(x, à) DNeles cos

7 Se (ET?) :

2h40 f tomcrae ice

Donc E—(242+1[Q,(7, À) + 27 Q,(r, à),

et en égalant cette valeur de E à (56), nous trouvons l'équation 25 à dz (1 re RE, +(n+i)(a—2À—1)z—0o à laquelle satisfait la fonction Q, (y, À).