L'expression

(57) R,(z, De Gp) x y}AP, (y dy

satisfait à la même équation différentielle (12) que P,(æ, À). Pour le démontrer, on établira, comme précédemment, les relations :

+1 ol n(n 2 Ra 20) f (1— y?) (æ— y} 2(xy—1)P,(y, D dy, =" +1 dl é= 2À 1 (1 — y?) (æ— y} "1 P,(7,2) dy, +1 ni R(&,À)=2À(20 — 1) f (1— y?) 2(x— y)? P,(y,à) dy,

à l’aide desquelles on vérifie immédiatement que l’on a

Ga —2')Ri(x, À) + (24 —1)mRa(x, À) +n(n—201)R,(x, À)—0o.

TN

23. On aurait pu établir ces résultats en se servant de la relation (15)

et ramener les intégrales (52) et (57) à des intégrales hypergéo-

métriques. Mais par les considérations précédentes on peut étendre ces

résultats, car nous ne nous sommes pas servi de la forme particu-

lière 2(2 — 2À) du coefficient de y dans l'équation différentielle (12).

Prenons, en effet, à la place de P,(y, À) dans les intégrales (52) et (57), une solution Y,(+) de l'équation différentielle

(58) {—x?)y"+ (21 —1)xy + ky —o.

Si ces intégrales ont un sens et si les quantités Y,(— 1) et Y,(+ 1) sont finies, on voit, en suivant la même marche que précédemment, que l’intégrale

Fh| s — À — — Ge VON dy A satisfait à la même équation (58) que Y,(x), et que l'intégrale ME VE CH) Ge »2 2 ex, dy ne RE EN satisfait à l'équation (1—x)y"— (24 +3)xy +(kK—2k—1)y—=o.

Il se peut que, par la même méthode, on puisse trouver des équations

différentielles ayant ces intégrales comme solutions, même si Y,(— 1) et Y,(+ 1) sont infinis. Soit, par exemple, l'équation

(1— x )y"+(2i—1)xzy'+(n+i)(n+2l+1i)y —=o qui admet, comme il résulte de l'équation (2), la solution

Dee d"(1 — x?) 2

dx"

Ya(x, À) —

En considérant l’intégrale

(2 =) — D 4 = à (%, À) ie es Yh(7, À) d) ie et en reprenant la marche suivie, nous aurons (n+i(a+2+i)l,(x, 2)

=) +1 AE) l'OM Ur es ai = y À ci ne À) dy.

hp Mais 1 :

ee Gen y) DC»; À)=APou(y, — 2), où l’on a posé __(— int (2A)(2À+1)...(2À+n) . (a+) (24+n(2à+3)...(24+2n +1)

et comme 1 s +1 Sera G—»?} CR A) 1h Gp "Ur 4 | AUS +1 (it — 7°} | Ne A CHEF AN O0 E CLS LE) ES (2x —1)y(1— 7?) È (&—y)+2(i- y} 2.

1 (ur) (y, Hay le crochet étant nul aux deux limites, il nous restera (n+i1)(n +2 +i1)l,(x, 2) 4 | — Pa |" — Drop :

D es ot (2 —1)y(z — 7 EE 4 PAU z = EE LA SP CR 4 PR ms RS EP NS ou er (2,2) dy

Par suite, l'intégrale I,(æ, À) satisfait à l'équation

75 (Y: x nu =

G—at)g"— (2h +3) +n(n+ah+a)y=—A| Fans

L'intégrale [,(x, À) a, par rapport aux polynomes P,, une forme simple, car

__(—1)" (24+09)(21+3)..(2X+ n+1) (sy?) Ye GAF3GR F3). (GiE2R EI)

+1p Hi pe HIT PR au d À

({i—x?)y"+ (2 —i)xy'+n(n—2))y I 21 +2 petit true ren

Donc l'intégrale

satisfait à l'équation

Or BA Enr F5 = æEU

Sur d'autres polynomes remarquables.