ZA

nous aurons

Gags + 6e Br (a D'I | = 2)

Donc (60) P, (3, D = (nine ( =: ; à):

PS NL Et inversement (61) a TP Vs 25. Les racines de l'équation en x (62) (60) seront É (c Æ= y ; n), Vei—1

pe; désignant une racine de l’équation (45). Donc si À < = l’équa-

tion (62) a toutes ses racines imaginaires et de la forme rÿ— 1. 26. Le premier membre de (59) pouvant s’écrire RC Er) on voit que le développement (59) est valable si

læ(æ—1)| <1 et Ja(rrr)|<r

ot On voit encore que l’on a

n | (Gi

IPN TE RS ES ne

À A. (À — ) 6 cons ns D nes CR ( d a

En divisant les deux membres de cette égalité par À et en faisant ensuite À — 0, nous aurons

[ie À] __ (æ—i+(æ+iy À Deal SÉlR

Ce qui résulte aussi de

EE ER EE Log ae 01 + log[1—a(x+1)]:

27. Dérivons le développement (59) par rapport à « et par rapport à æ, nous aurons

(594) [—2Ax(1— ax) —2ha][(1— ax) — [ht Enar1II,(x, À), (59x) — 2ha(i1—ax)[(1—ax)}—@[\1—ZX oœ Il(æx, À).

De la comparaison de (59), (59,), (59,) nous déduisons la relation (63) CHSOIE (22) = (æ 2) qui nous montre que les polynomes IT,(x, À) rentrent dans la classe des polynomes étudiés par M. Appell (Annales de l’École Normale superieure, 2° série, t. IX, p. 119-144).

De la comparaison de (59) et (59,) nous déduisons la relation récurrente (64) (r+1)Il,1(x, à)

+o(i—n)æll,(x, À)+(n—1—2À)(x—1) M, (x; À).

28. De (63) et (64) on déduit immédiatement l'équation différentielle

(65) (æ—1)y"+2(i—n+i)æy +n(n—2k—1)y=o,

rte à laquelle satisfait le polynome Il, (x, À). Cette équation admet, d’après la théorie générale (') des intégrales hypergéométriques, deux solutions de la forme

+1 Je Qu —a)hit(u +i)at(u — æ)#1 du

qui sont dans notre cas

(66) j {au} t(u—x}idu | (1<o) et Ë (67) JL (nu) (ur) Nu (A5 —1).

L'intégrale (66) est un polynome de degré » en æ, il faut donc qu'on ait, À étant une constante,

+1 ICE A) A ({i— uw) t(x—u)" du.

Pour déterminer A faisons dans cette égalité x = 1, nous aurons

(n—À1—1)(nr —à DCE) Re GE n! ww: Dre)

D'où la valeur de A, et par suite