ET (R

(68) (2 NE re)

Ge u)nEt(r = 4)" dr.

Ou bien, en faisant u — cos®,

ss. . 22#1T(n — 02) 5 Let PL (68) LCA) P(— à) 2! f (æ — coso) (sing)? ‘do.

Sous ces formes, on voitimmédiatement que les polynomes Il, (x, À) sont de la classe de polynomes de M. Appell (?).

(1) Poir, par exemple, le 7raité d'Analyse de M. Picard, t. I, p. 320. (2) Plus généralement, les polynomes

. $ (1) An = 1 (Tr —u)ro(u) du Va

29. Les polynomes I,(#, À) ont une autre forme intéressante. En comparant les équations différentielles (3) et (65), on voit que (65) aura pour solution l’expression

Ce rh É dx’

qui est un polynome de degré ». 11 résulte que l’on a

H(æ, À) == A(r— x? }1-À CA V2 1

dl

sont de la même classe. Cherchons à mettre les polynomes de M. Appell sous la forme (1). Formons pour cela la fonction génératrice que donne M. Appell (Loc. cit., p. 121),

An > a de a(hjehs = fetr-mg(u) du.

Nous sommes donc conduit à l'équation de Fredholm de première espèce

B (2) a(h) = f eruho(u) du.

k2 Dans le cas particulier a(A) = e?, cette équation intégrale se résout facilement. En partant, en effet, de l’équation différentielle

a'(h) — ha(k)= 0, ns à laquelle satisfait e?, et en remplaçant «() par sa valeur (2), nous aurons

ferurp(u)] — 1e [p'(u) + up(u)Je-#t du = 0, 7 &

égalité à laquelle on satisfait en prenant #(4)=e ?, solution de o'(u)+uo(u) = 0,

x =— x et $ —=+ +. Nous aurons donc

et, par conséquent,

SE ee I Ron Les e ? 7 ai — (r—u)te ? du.

arr OT

On a ainsi une représentation intégrale des polynomes d'Hermite. On pourrait résoudre l'équation intégrale (2) par la même méthode, lorsque a(A) satisfait à une équation différentielle linéaire de Laplace.

Die Pour déterminer la constante A, faisons æ — — 1 dans les deux membres et nous aurons