La relation (60) PAG D) = (et nÉTL

Væ—1 nous permet d'étendre les propriétés précédentes des polynomes II,(+, À) aux polynomes P, (x, À).

De (68), on déduit ainsi

2X+1 tr ol ; (74) Pa(x, D ef (x—uya—1)" (uw) du A >o).

PR Transformons cette formule de manière à avoir les coefficients de x?

dans le polynome P,(æ, À). Considérons, pour cela, l’intégrale

1h (au + bo + chr(1— u?— v2)-1 du de (620),

étendue au domaine u? + #?<1. Faisons la transformation __ aË+bn DE Ve mul

re 0

L'intégrale précédente deviendra ÉGVEFE + 0)" (8 nt) dE dm,

£+ n°£1. En intégrant, par rapport à y, nous aurons

RD [GER + ee) Ta

En identifiant cette intégrale à l'intégrale (74), nous concluons que l’on à

5 Li

Moon)

GOSSES r nil(—2)

—} 5 X 1k [æ(i+u)+il"(i— u?— 0?) ? du dv.

ui pi

Donc le coefficient de x? dans P,(x, À) sera

— À — nul, ue .

(2) É Tr. RL (=) ff 1+u)P(v) P(1— u?— 2). ? du dv,

expression qui est nulle si p n’est pas de même parité que n.