De la relation (70) nous déduisons

(Cr == 1° Le __—, À ; VX? —1

2À(2X —1)...(2ÂÀ—n +1) P ( :):

D rene eee re “ Hein

Donc les polynomes IL,(æ, À)etP,(x, x) satisfont à une même équation fonctionnelle.

40. De la relation (70) il résulte encore que l’équation Prér 1) 6,

enæ, a loutes ses racines imaginaires et de la forme Re

Al. Comme une série de la forme

20 Pre mar,

les C, étant des constantes quelconques, satisfait à l'équation aux dérivées partielles

5 ds , d?z dz ne + (2À—1)x — + a Ta U Di)a

dx da Ne

équation qui a done pour solution aussi le premier membre de (55), il résulte, d'après (74), que l'intégrale définie

. fCaz— auVa 3) (1— ÿ 1 du (À > 0)

y satisfait aussi, f étant une fonction arbitraire admettant un développement taylorien. La série

nl

R;(æ, À) étant la fonction associée (57), satisfait à la même équation aux dérivées partielles. Donc l'intégrale double

Aa +l dy | o(ay—auvy?—1)(1— u?)-X du, 2\. il C2)

la fonction + admettant un développement taylorien, sera une solution de la même équation.

On pourrait, d’après (49), représenter par des intégrales doubles les polynomes de Jacobi et donner, de même, des solutions de l’équation aux dérivées partielles (6).

Sur des intégrales définies et des intégrales singuliéres. 42. Du développement (13) nous déduisons, en multipliant les deux membres par (1 0.

et en intégrant de —1 à +1, D EU! l

nn = ra te I (78) (1— x) (i—oaz + ae hde= [ (1— x?) dr (<i)

égalité qui nous montre que l'intégrale du premier membre ne dépend : ee 1 Etre pas de & sifal 1. Silæ|=> 1, nous posons x — — et l’on déduit la EE |

valeur de l’intégrale. Pour|x| = 1, cette égalité subsiste; poura« = +7, par exemple, son premier membre devient

et nous avons trouvé aussi (32)

+1 ns. Vrr(ii) { Ga) dx = — ———.

Die