En dérivant (78) par rapport à &, nous aurons

1242 a) UT — 0,

[aa a)

”—1 égalité valable pour [«| 1, mais « peut être pris aussi près que l’on veut de +1 ou de — 71. En comparant cette égalité à (78), nous déduisons

(80) caf aa) À: ) O<:):

(i—20æ + a?)1=À IN)

Lorsque x tend vers +1 ou — 1, soit vers + 1, l'intégrale du premier membre devient une intégrale singulière, car, dans l’intégration, seul l’élément voisin de + 1 comptera.

On peut employer cette intégrale à la représentation des fonctions intégrales et bornées. En effet, /(z) étant une fonction bornée dans l'intervalle (y, y — 2), choisissons € assez petit pour que la variation de f(z) dans l'intervalle (y,y — €) soit aussi petite que possible. Comme

True æ?). ? I ce =) j ll (1— x?) | 2 dx 1 (T2 a rar) (ET) a er et si l'on prend « suffisamment près de 1 pour que (1— œ?) (2ae)\—1

tende vers zéro, on voit que l’on pourra écrire

Pgo) =tim (= a) EN fr FU en Nr.

a 1 rr(—1) ( (1— 204 x + œ«?)t—

Mia

45. On peut donner une autre forme à ce résultat. Posons dans (80) æ = CosŸ; nous aurons

= I 4 RICO ( (1—2æcosd+ a) [(1—2)

En changeant « en — « et Ÿ en Ÿ + +, on voit que l’on a

fonte PE)

(1— 20 cosŸ + æ)t—À Lo

ou bien, comme la fonction sous signe d’intégration admet la période 27,

nier ne ere

[1— 2a cos(L — ©) + œ2]1-À T(r—à) Considérons alors l'intégrale

(81) en [sin?(d — o)]-À db

De [i— 24 cos(Ÿ— 9) +] ë

et cherchons sa limite lorsque « tend vers 1. Posons Ÿ — + — 4, nous aurons ue “ Due) PE (sin?4,)-À db,

On voit, comme précédemment, que les deux intégrales

CNT ae (sind, )À 4, an CE , (G—2a cos, + æ?)t—À 2UVT : )

{1 — œ)T(1— À) i (sin?) À du, el (1202 cod + at) »Vrr(i 2) 4

ont pour limite . lorsque « tend vers 1, / étant positif et plus petit

que 27. Done si f(%) est bornée dans l'intervalle (0, 27) on aura la

Hpbree

valeur de l'intégrale singulière 1= = {/(9+0)+ fl? —0)].

Pour & — 0, on trouve

L'intégrale (81) généralise l’intégrale de Poisson qu’on retrouve en

faisant À — 0.

46. Lorsque x tend vers — 1, l'intégrale (79) devient aussi une intégrale singulière qu'on pourrait, de même, employer à la représentation des fonctions. |