DEUXIÈME PARTIE

Généralisation des polynomes U,, d'Hermite.

1. On sait que les polynomes U,,, d'Hermite proviennent du développement suivant les puissances de a et b, de l'expression

sy

[G—axz—by} (a +b)(e+y?—:1)] ?,

qui généralise la fonction génératrice des polynomes de Legendre, fonction qu’on peut écrire

nl

[{@—ax)}— a(x?—1)] ?, Le développement

() [t—az—by}— (+8) (a+ y) = Lab Un (æ, y, À)

définit les polynomes U,,,(æ, y, À) qui généralisent les polynomes U,,, d’Hermite et qui peuvent être considérés aussi comme une généralisation des polynomes P,(x, À) qu'on retrouve en faisant b—0o et y —0o.

Le développement (1) est valable pour x°+y?£r et & + b?<7, comme nous le montrerons bientôt. Montrons, dès à présent, que, pour Lim) 1.40, D 0betur-r a 0 < V2, ce développement est absolument et uniformément convergent. Mettons pour cela le premier membre de (1) sous la forme

1—[2ax+2by—2abzy + (pi) + bai) (1 up.

Si À < 0, le développement suivant les puissances de a et b de [i— (aa + 20 +2ab + a+ b?)F

est absolument et uniformément convergent si 1 + a + b< 2, et il sèra majorant pour (1). Notre proposition est donc vraie dans ce cas.

Enr Si À > 0, on posera À — mn + À,, où » est un entier positif et À, une quantité négative et la démonstration se fera en considérant le produit

(i—u}"(1 re u)h,