Démontrons que le polynome U,.,(æ, y, À) est de la forme
1 DIAREN RE
(2) mr |
dx" d ji
A un coefficient numérique. Nous formerons pour cela, en suivant la méthode qu'emploie Didon dans sa thèse pour les polynomes d'Hermite, un système d'équations aux dérivées partielles auquel satisfait l'expression (2); nous vérifierons ensuite que le polynome U,,,(æ, y, À) satisfait au même système et que ces deux solutions doivent être identiques.
Soit ET ne rs
on aura
—=02(mEnEy)sS.
Différentions cette égalité #2 fois par rapport à x et x fois par rapport à y, nous aurons
dri+n+i S dri+n+i S dm+n-+i S drm+n S Le danr+i dy" A dx” dy LS ds dx" dy" Fr (mn con 2h) dx” dy" ou bien
dir +1 S dritn+1 S d'+n S time es RS 2 72 ee STE RE
2 dx'""ri dy" sue 4 dx” dy de (m TE 1) dx" dy"
dtnrs
= (TU EE Di) der dy
Si l’on fait 3 — 1 dans cette égalité, et si l’on pose
Tv … doc = y? ss D) CO en ia dx” dy" 0
il vient
dri+n (x y — J Det ={ aT aT
(3) 2(n+nr+p) diras as ol trees
De
Soit, d'autre part, E — (æ? + y? — 1) 22 on tire dE
2 (0710 n L\)x(x° 2 y}nm+n+p—1 DT (m+n+p)x(a + y?— 1)
En différentiant cette égalité #7 + 1 fois par rapport à æ et n fois par rapport à y, on a
dm+n+2kK d'itn+i (æ'+ Y— 1 En dx+r? dy" Ée 2(m Rat Cm u)x dx"+1 dy" dira (ae ie je ÈS 1) a +2(m+n+p)(m + Re de dy"
De cette relation on déduit, en tenant compte de la relation (3), l'équation suivante, à laquelle satisfait la fonction T,
aT dT der Pa — (ni +n+2p)T|
rp rp
d'i l AE — (nm +1) Ê + y d = (m+n+2p) r| 0:
Si dans cette équation nous faisons un changement de fonction en prenant U pour nouvelle fonction, U étant tel que l’on ait
(5) = nat;
nous obtiendrons une équation à laquelle satisfait le polynome (2),
si l’on fait Wu —— À — Nous aurons, après avoir divisé par (x? + y? — IS MT UIL-010 j dU MAS (æ + y?—:1) Le à (mm + ne — 7101 — x Te) — 2uU4?0 — 0, où l’on à posé à dU dU (6) x Qu Po AE
Nous obtiendrons une autre équation à laquelle satisfait U en permutant æ et y, » et » dans cette équation. Nous concluons donc que l'expression (2) satisfait au système d'équations linéaires aux dérivées
Ty partielles
; RER =, 2 — (x? + y 1) PE LT (m+1)0 + +0 (mu LE EL e)=o,
; : dU d® __ ,aU Li (æ +7 -rR- tu +ne|+ci+n(ru £r = m5 À e)= 0.
Démontrons à présent que U,.,(æ, y, À) satisfait à ce même système. Reprenons pour cela le développement
2) Hi 2a"b"U, où (8) H=(i—ax—by}— (a+ b) (a+ pti).
En dérivant (1) par rapport à a et en multipliant ensuite par a, nous
aurons A(—o2ax—2a y +aabzy +2a@)H == Ema"brU,,
et de même
À(— 2by = 2b?y?+ 2abxy Ets Ab )Hisi— Zna"br U,,,n
À(—2ax—2bx+oabxy) Hi = ZXzxa"br dUnin, dx A(— 2 by —— 2 a? y? + 2abxy) 2 ya br ES .
Nous déduisons de ces relations
— 2 À(a?+ b?)HÀ-1 — Za“br 0,
0, étant la valeur que prend @ de (6) quand U a été remplacé par Un. Et puis
due dx
(9) — 2 (ay — D D [mn æ Œr #0... | .
Et des relations — 2 (3a7+ b?)H1— 2 X(2À —1)(a2+ D?) X(—2ax—2ay+2abxy +2a)H = 2Z(m+i)a"bre,.,
dO m,n ET ER A
—2À( —1)(@ + b)(—2ax—2brx+2abxy) == Exra"bn a æ
= à « = . 2 — 20H AC —1)(—2a — 2b0?x + 2aby} Hi 2= ambre LR, TL?
et de l'identité
(a+ D?) (— 2ax — b°x?+2abxy &y+@)+(a—aby + bx)} = @M
il résulte que nous avons
(4 + 2))a Hi on pr HR re A 0 :
dr? dx :
De cette relation et de la relation (a), il résulte que le polynome U,,(æ, y, À) satisfait à la première équation du système (7). De même pour l’autre équation du système.
Il nous reste à démontrer que la solution (2), du système (7), est la
même que U,,(x, y, À). Faisons, pour cela, dans ce système, le changement de fonction
WW (ay) ?T.
Nous retombons sur le système d'équations
TT 2 ar dt (1 7 +(n —2h—3)zr— — (mm + ne +(m+n—2À—1)(m+1)T—=0o, æŒ@T dr aT aT ESS EP INE T RRE en ee. asp AE Rés, ; es = 4h —— (1— y Ty Frs LI 2 À Er (a ae +(m+n 2À—1)(n +1)T —=0o, formé par l’équation (4) et son analogue. Ce système aura donc les solutions Pb EN=E î den (a?+ y?— 1) 2 ; ; : ne (11) der dy" et (x?+y?—:1) Ur ACT PA
Mais le système (10) a pour intégrale générale (*)
PONT 0 TO SE UN OST TNT: re ie dE Do 2 2 Je
x 2À—m—n m CE UN TR AE DT +Bz E,{r+ : ie Œ, RL T9 CINE DENON DS RON 0 Hi à + Cy F,(1+ = ) : 2+nppet) (3 oÙ— mn TM n 300 ; Cap Pr pr TE :
(1) P. Aprezz, Fonctions hypergéométriques de deux variables (Journal de Mathématiques, 1882, p. 189).
rt
F,(«, B, 8, y, y, &, y) étant une des fonctions hypergéométriques de deux variables de M. Appell. Comme les solutions (11) n’ont, dans leurs développements suivant les puissances des æ et y, que des termes en x et.y respectivement de même parité que #2 et n, il faut que ces deux solutions se réduisent à un même terme dela somme(12).Par exemple, si mn et sont tous deux pairs, les deux expressions (11) se réduiront à
LAS 2h +I—mMm—n M+I NA +N I I AE, | ———, PE) 0) 2 ‘2 2 2 2 ,
et ne différeront que par la valeur de la constante A. Il résulte donc bien que l’on a
