MER
UP Ce YA )=A(E y 1) dx" dy"
Calculons le coefficient numérique A de cette relation. Posons pour
cela dr (x? + y? = 1) aan —— 2 es GO me EE RE LOS (13) DC NL) (x St V 1) F DATE De l'identité
d(x?+ y? 2 H)JPARREEAE
7e =2(m+n+p)zr(at+yi—1)rrrtEt,
nous déduisons, en différentiant m — 1 fois par rapport à x et n fois par rapport à y,
dri+n (x?+ y?— p)r+n+ tu dm+n-1 (x? a > Lee, 1) dx” dy" = 2(m RoeEr, px dx-—1 dy" dntn-1(22+ CES 0 Vo on mnt +2(m+n MALE een ee or
En multipliant les deux membres de cette égalité par (æ? + y? — 1)-4 et en tenant compte de (13), nous aurons
Dr 1/5 b) = 2(m mn a L)eD Cr Ÿ) H) +2(m+n+p)(m—i1) (m3 = 1)D,; (7, YB+i1).
S1 dans cette relation nous faisons y — ÿ1—x?, elle deviendra
Dn(z, Vi x, p) =o(m+n+p)x Dre Vi— x°,p).
AT
De proche en proche nous arrivons à la relation
(14) DC, Vret, m) =2"(m+n+p)(m+n+u—i)...(r+u+i)æ"
e D,,,(æ, Vi—x?, ),
Din(æ, Vi — x, w) se calcule facilement par la formule qui donne la dérivée ni%e d’un produit de deux facteurs, car on peut écrire
D, , (x, Vi—2?, u)
— ESS dy + Vi) y = Vi 2] dy" = Vie
et l’on trouve Done, Vi—a,p)=(n+p)(n+u Ii) (UE 1) (2Vi— zx}. L'égalité (14) deviendra donc
(19) Dyn(r, Vi—zt,pu) -
=2tr(m+n+p)(m+n+p—i)...(u+1) si —xr).
En partant, d'autre part, du développement (1) où l’on faity — ÿ1— x?, nous voyons que Le Vi — æ?, À) est le coefficient de ab” dans le développement de
Mar b\i a),
2A(2À —1)...(2—m—n+i1) Taÿ CUIR I
Donc (Er — x} :
LC Vi — SEA À) — (— j)m+n
En faisant u = — À — = dans l'égalité (15) et en tenant compte de l'égalité Unn(z,Vr— 2, DD (æ, Vi—æ?, —À1— :) »
on à 2A(2À—1)...(2À—m—n+i) min!
— A(—1)##7(2) —1) (21—3)...(21—2m—an+i1).
Et finalement Ù 2À(2A—1)...(24—m—n+i:)
AGOU ES m\n! (2—1)(2A—3)...(2À—2m—2n<+i)
1 9 ES RE y? 1) dx" dy?
Quelques propriétés des polynomes U,, , (x. 7, À).
3. De la forme analytique (16) des polynomes U,,,(æ, y, À) on déduit, par des intégrations par parties, que l’on a
er (17) ffe-s-r AU 22 MA) US 20 de dr; ‘intégration ét: 2 y2< le domaine d'intégration étant &° + y?£1 et m+nÆ£p+g, <> Ceci résulte aussi d’une autre propriété des polynomes U,,,(æ, y, À). En faisant, en effet, la somme des équations du système (7), on trouve l'équation aux dérivées partielles
az nd day CN) a
s ds GS) Ge) 2x
dz dz +2) (2 +15) +(m+n)(m+n—2À+1)s—=o,
à laquelle satisfait U,,,(x, y, À). Et, d’après un théorème (‘) de M. Appell sur les équations de la forme (18), il résulte que l’on a l'égalité (17).
4. L'équation en x (19) Ur 22 po où À € ; et|y|<{1, a toutes ses racines réelles, distinctes et comprises
entre — Vi —y* et +1 —y*. En effet, il résulte de la formule (16)
(1) Journal de Mathématiques, 1882, p. 212.
mu que l’on a
jee. el (1—y2— 2?) OU rt M A)OIT)ar— 0.
®(x) étant un polynome quelconque de degré inférieur à ». AL 12 2 , < 2 ’ Si l'équation (19) n’admet que z racines réelles æ,, æ,, ..., x; com-
prises entre -— V1 — y? et + V1 — y?, posons P—=(r—-%)(r— 2). "(x — x)
et P.Q — ERA Y'; D),
Q ne changeant pas de signe dans l'intervalle = ÿr y? à 2 ÿr=72. Or, en prenant (x) — P, l’intégrale précédente devient
+yi—7y? St
' (1— x? — y?) 2PAQdx 0, MR
ce qui n’est possible que si Q change de signe dans l'intervalle
Vi à +Vi-r.
Il faut donc que : — m.
5. Démontrons que la courbe U,,,(x, y, À) = 0, abstraction faite du facteur x ou y, suivant les cas, sera toute comprise dans l’intérieur du cercle &?+ y?= 1, si À <o.
En désignant toujours par H l'expression (8), écrivons, pour cela,
= w#[i— (a+ 0?) (a+ — mule, où l’on à posé À = — y, & étant essentiellement positif et u—(i1—ax—by)".
Nous aurons alors le développement
H\— u?E + L(a?+ b?) (x? + y? — 1) 4 et) Sete
