ANR PR SN CE A

En égalant l’ensemble homogène des termes de degré ken a et b des

= deux membres, nous aurons af Uz,,(®, PA) a bUr aa ME... -RPEU (x, r, À)

D mm een) ee

u(p+i)...(u+i—1) (am+oi)(au+oi+i)... (au +k—1) : ! (k— oi)!

X (a+ bi(xt+yt—i)i(ax + by a+...

Cette relation met ce fait en évidence, que pour des valeurs positives des coordonnées, rendant positif æ? + y? — 1, toutes les quantités Uzs, Ux-is ., U,x(æ, y, À) seront également positives si À << o. Or, Uhn(æ, y, À) étant de l’une des formes

FC, Eat), rer) nn rl (re)

ne pourra, par conséquent, jamais s’annuler, quel que soit le signe des coordonnées, abstraction faite du facteur æ ou y, qu’en supposant d? + y? —1<o, ce qui démontre notre proposition.

6. M. Appell montre (‘) comment les polynomes U,,, d'Hermite peuvent être rattachés aux polynomes X, de Legendre. On peut voir, de même, comment les polynomes U,,,(æ, y, À) se rattachent aux polynomes P,(x, À). En effet, si dans le développement (x) nous posons

LE INCOSÙ, HT Ne, a —=pCOoS@, bp since,

il deviendra [i— 2pr cos(0 — à) + p?— pr?sin (8 — x) = SONH, avec == D COST SsIN US CL UE

On déduit facilement de là que l’on a

il : ) Hy= [172 sin?(9— à)} Ps EE PE. à Vi— rsin®(0 — a) ou bien N

Hy—=[1—(xsinx— y cosa) Ps|

æ COSà + y Sin " Fr .

Vi—(xsina— y cosa)

(1) Annaes da Academia polytechnica do Porto, t. V, 1910, p. 65.

1e En rendant le deuxième membre homogène en cos«x et sinæ, on voit qu'on peut former tous les polynomes U,,,(æ, », À) d’un même degré donné m +. n — N, au moyen du polynome P,(x, À). À poly N | | Les polynomes U,,,(æ, y, À) peuvent être définis aussi à l’aide des polynomes IL,(æ, À). On vérifie, en effet, sans difficulté, la relation

N N > a bn UC Y,À)= (a+ D} (æ?+ y — 1) m+n=N < IN] ax +by à].

VCa?+ bp?) (a+ p?— 1)

7. Étendons aux polynomes U,,(æ, y, À) une autre propriété que

donne (') M. Appell pour les polynomes d’Hermite. Considérons l’intégrale

. a ) vel CAN 7e) Uh,n(æ, y, À) dx dy,

ÈS 2 x? + y*£1; elle est nulle st 25 <m + n. En exprimant cette

propriété en coordonnées polaires, nous aurons

1 me 2H [ r°S+1(1 — 7?) ‘ar f Dam COS 0, SIN Va )) A0 = 0: 0 0 Mais l'intégrale

2 TT jl Uyh,n(r cos6, r sin 6, À) dô

est nulle si les entiers 2 et n ne sont pas tous les deux pairs. Soient donc m — 2p,n—2q et

27% Rh,4(r°, À) = Upog(r cos6, rsin6, À) d6, R,,/(r?, À) est un polynome de degré p + g en r? et tel que

1 Le RG) re dr 0

(1) Annaes da Academia polytechnica do Porto, t. V, 1910, p. 209.

pour toute valeur de s < p + q. En faisant r? = 3 nous aurons

2S ds — 0.

He 21) 2 f Rh,4(z À)(1— 3)

Ceci nous montre que l’on a

)+q—À— > Ne APETZ PES —Z 7 2

dzP+q :