LH

s aurons, pour le premier membre,

et en faisant croître À indéfiniment par des valeurs négatives, ce premier membre aura comme limite

be te 1 ax + by — : a — 5 BE. ph = æ by FSU Donc m+n ; and ed, } pu m!n! ne HE D =) me 0 de : de . y? d'e A e = Œœ 1)e GO m CC ei 72 ; LA dy

Autres polynomes remarquables à deux variables.

9. Les polynomes IL,,,(x, y, À), définis par le développement (22) [Qu AL Br æ— fi} — 2 a (0 (2 Y; À),

sont des généralisations des polynomes Il,(x, À) que nous avons considérés dans la première Partie. Remarquons que si nous faisons

a—ayai+yi-tns B=bVai+yi—r, T “ £ HAN l ? F = 2 A 2 Vz?+yi—1 Vz?+y}—i le premier membre de (22) devient identique au premier membre À. 8

Va de (1); donc

m + n (23) Ur Cm Eee EUR ÈS - ? Z : à) ; Va? + y?— I Va? + y—1

et inversement

m+n Z y 2{ Il, n \æ»5 , À — 24 y? — 5 (be n ? À è CE HAN ee | = Ve + pr )

10. Ces polynomes IL,,,(æ, y, À) peuvent être définis à l’aide des polynomes II,(æ, À). En effet, on voit facilement que l’on a

ax +by 1)

N 29 a D” I, n(æT; Y; À) = (a? + b? II —— CS a (@ 7 À)= (a+ 0?) ne

m+n=N et que le second membre est un polynome homogène de degré Nen a et à.

11. Du développement (22) et de ses dérivées par rapport à «, B, æ et y on déduit les relations

) == dir (%; Y) — CAN AE ES VE À) (26) (m+n—21)1l,,(æ, y, À) — dx — 7

qui nous montrent que les polynomes Il,,, rentrent dans la classe des polynomes de M. Appell.

12. Du développement (22) et de sa dérivée par rapport à &, on déduit une relation entre les six polynomes1Il,,,, I,1, Uno 1 n ins yon de mème paramètre À, qui, à l’aide des relations (26), nous conduit à l'équation aux dérivées partielles

1e (m— 2h — 2) (at 1) : 5 +20 — ia 2

CR PE À —1)(m + À CA LAS on —}—1)(m+n-—-2À— te J dy: RE es

Hood + m(m+n—2—1)(m+n—2À—2)z—0,

à laquelle satisfait le polynome IL,,,(æ, y, À). En permutant m et n, æ et y, nous obtiendrons une deuxième équation à laquelle satisfait ce x zx 2% même polynome. Si l’on élimine entre ces deux équations = art . on