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obtient le système d'équations plus simples
ER dz à dz dz F - (27) dx? Eedm F2m-2 er ne — mim+n—2Àk—1):—0, de æd à CT a, + (tan al )y ee + ne SE — n(m+n—2k—1)3—0,
auquel satisfait le polynome IL,,(x, y, À).
15. Considérons l’intégrale (71), que nous avons trouvée dans la première Partie,
[(t—-az} — a — re ml ({i—az+au)X(i—u)-X 1 du (1<0)
et posons dia EE y «et "a Var, nous aurons ainsi (8) [CG — ax — By) — «2— 6517 22\+1 De #1 use Em) Ga Dry Vas Bu) (1— uw) du.
SRE
Mais par une transformation orthogonale, comme nous l’avons vu à
propos de l’intégrale (75), on prouve que
22\+2 res 2À )
æ u= 1 fl Cr — ax —By+au+Bv)À(1—u?— 6?) :
2 Ci :) B m+o<1
+1 À = [Ga 6y + VTT) hi ur) du —
Donc l’égalité (28) deviendra
(29) [G—ax—6By}—æ—$8T | LR
ve x (1—u?— 5?) ? du dv.
En développant les deux membres de cette égalité suivant les puis-
it
sances de « et 6, on déduit la représentation intégrale
ASE 2A(2À—1)...(21—m—n+i1) (30) IEEE ÿs À) = (7) an RER LE SA PTS ES À
EE ee Fi (æ—u)"(y—v)" (1 — u— 6?) ?du dv, UE +EvVISA
x . = I où l’on suppose, bien entendu, À << — =-
14. De cette formule on peut obtenir un développement analogue à (73). On déduit, en effet,
GOT 2A(2À—1)...(2A—m—n+i)
; Ent =— ee LE era (y —#)8 (1 — nu? — 62) ? du dv.
L'intégrale du second membre se réduit à
IL, n(æ, Y) À)
2) Eu ar (1 ;) UE RE xo+yB—uVar+fBtf, __ 7,2)—)1—1 CE VE En) Je SR ir
Ml) lé a — eta+y$ em cosevarf(sin pyntt do.
en) ‘
D'où, comme pour (73), le développement
DÈPE
(31) ae (Et) EG la? + GB?)
1 )) am (3 2. Dr m, 2 (AS Pa),
valable quels que soient x, B, æ et y.
15. On peut voir, par les mêmes changements que pour les polynomes U,:(æ,y, À), que les polynomes II, (+, y, À) se réduisent, dans un cas limite, au produit des deux polynomes d’Hermite à une variable
1 2 1 22 {x ad" En 5» dr? PEU dæm * dy"
Gi 16. Considérons les polynomes Data) Try? In (2 F 1) qui ont pour fonction génératrice [(i— x —B}— x2xt— By: P.
Ces polynomes peuvent se définir à l’aide des polynomes 0,(x, À) d’une seule variable, par la relation facile à établir
m+nzN
De la relation (30) on déduit
2k+1 2A(2À—1)...(2À—m—n+i) 2T mln!
