ES

je (i—æœu)"(i—yo}t(i—u—#?) du de.

(32) 07 (ELA Y; = == (— 1) En = —

D'où légalité limite

M N 02) “or Die TE D ren 7, à)

=? 1 Frs ae = {ii eTEU-YV (1 — nu? — pv?) ? du dv.

Il est intéressant de remarquer que le second membre de cette égalité peut être considéré comme une généralisation de la fonction cylindrique

Mage

qu'on retrouve en faisant y — 0.

Du système (27), auquel satisfait IL,,,(æ, y, À), on déduit le système d'équations aux dérivées partielles À Late Lam nan] S + m(i—m)es = 0 d?z d?3 NÉE nn ue + n(1— n)y:=0,

HOT auquel satisfait O,,(æ, y, À). Vérifions-le, pour la première équation, en prenant ce polynome sous sa forme (32). On sera conduit à prouver que

Î [Ga—m)x(i—u?)+oku(r— ux)] SE Xi um) (a pp} (ru 2) ? du dv es = frere ua (ep ie 6) ?du dv

ou bien, en développant (1 —+vy}" et (1 — y)" et en égalant Îles mêmes puissances de y,

j feu m)(i—u?)+(21—plu(i—ux)] É 3 X (1—ux)" 2? pP(1 — u? — A) 71 APi== 0:

Pour p impair, cette intégrale est bien nulle. Pour p pair, elle se réduit, après avoir intégré par rapport à v, à

+1 Rr2) 1 [ Læ(i—m)(1—u?) +(21—pu(i—ux)](1\—ux)"2(1 — u?)? à d=d,

égalité qu'on vérifie immédiatement.

Du système (34) on déduit, en tenant compte de l’égalité (33), le système d'équations aux dérivées partielles

ds dz dz

Éd pen Do 2A TE — 25 —0, GP ds ) 4 Es Van Tazdy ‘dy?

qui a pour solution

sir [f eTTU—YV (x — uw? — 6?) ? du do.

Vu+p<i :

La première équation du système (34) ne dépendant pas de n, il résulte que cette équation aux dérivées partielles a pour solution l'intégrale

ie (2) 1 JG —yv)(G—æœu)"(i— u?— 6?) ? du dv, w+v<1

ne f désignant une fonction quelconque admettant un développement taylorien.

Remarquons encore que la vérification que nous avons donnée reste la même dans Le cas où m et » ne sont plus des entiers.

Les intégrales (32) et (35) satisferont donc aux mêmes équations aux dérivées partielles, »2 et n étant des quantités quelconques.

17. Les polynomes A,,,(x, y, À) définis par le développement RUE =) Bye (a nn BP 2 DD (2, Ÿ À)

sont aussi des généralisations des polynomes I,(æ, À). On vérifie, sans difficulté, qu’on a MA tn (ds NS À) Pre DAS CE, Le À)

(m+n—21)Ann(æ ÿ; À) = da 7

donc ces polynomes sont de la classe de polynomes de M. Appell, et que le polynome A,,(x, y, À) satisfait au système d'équations aux dérivées partielles

Pre 23 123 72 Ga) PE + (a) ge + Une 2M—92À DE my … m(m+n—2À—1):=0, EN? Nas GP ; dz Fe x LE es UE ES CR NO) ra 2 Char dre A À + mu) 0;

L'intégrale (71) nous donnera, de même que pour (28),

[u—az—By}—(a+6yP

a [i—ax(x—u)—fB(y u)JAG— 2) du;

d’où la représentation intégrale

ie 2241 D(— 2À) 2A(2À—1)...(2À—m—n +1) CHA Cr 0) = Cr) TES mln!

+1 1 (æ—u)"(y — u}"(1— u?)-À\-1 du.

Nous avons ainsi une solution du système (36) mise sous forme d’intégrale définie. De la relation (37) on déduit le développement

analogue à (31)

PONS TÈ ani" = — HV ere mn(æ; M ),

; a 1 es (EE) 5 Tor + iB)

valable quels que soient «, 6, æ et y.

On pourrait considérer aussi les polynomes

I I LPOYROA “Le — ) à), NC

et étendre à ces polynomes toutes les propriétés établies pour RAC TAMUE

Représentation intégrale des polynomes U,, , (x, y, À).