D NET
Er = fu ; (ar by +au Va + y —1+ bo Vat+ y 1)" ui p2S 1
he X (1— u?— p?) ? du dv.
Démontrons, à l’aide de cette intégrale, que le développement (x) est convergent si a? + y?£1 et a?+ b?<L1.
: , s Ll . ; :
Supposons d’abord À << — ” alors cette intégrale est finie, et le
développement (1) sera convergent dans les mêmes conditions que le développement suivant les puissances de a et b de
( ax — by + au Va? + y? — 1 + be Va +71)”,
Ce développement sera convergent si re by +iauVi—x?— y + ibe Va my] el ou bien si (as 0y) (au be) (x 7") <r.
in passant aux coordonnées polaires
D TICOSE, M SIN, a — pCos?,
D bISIno, u = R'cosŸ, —R sin,
il revient à prouver que
GET RO RES si R£r, r°£1 et o°<1, ce qui est immédiat, comme on le voit en remplaçant R par sa plus grande valeur 1.
= [l = Ce l . . .
Si À — —> on posera ÀA=A+mouÀ, << — ce et 7 un entier positif;
on est ainsi ramené au cas précédent.
Généralisation des polynomes V,, d'Hermite.
21. Considérons les polynomes V,,,(æ, y, À) définis par le dévelop-
pement
Ne
(4o) (1—2ax—2by+ a+ b?) 2 Dambr NV, ,(2, y, À).
Ces polynomes peuvent être définis aussi à l’aide des polynomes P,(æ, À). Reprenons, en effet, le développement
AS . I ® ({—2azs+a) ?—Za" Pa (ss À — ï)
qui, comme nous l’avons vu, est absolument convergent si [s|£1 et a <[1. Par les changements
a%+by
te \ de b? el B=— ai
on voit que.
ax + by
N 5 - 1 (41) > ADN mn(z, Y, À) (a + by ee es
et de plus que le développement (40) est convergent si
[Var] <: et
conditions qui sont remplies si
a+ b?<L1 et LR VIE
comme on le voit par un passage aux coordonnées polaires.
