JE, 1 HD SE AE ES

Poe d'où finalement la valeur de l'intégrale 1 a” b" T — ie m+n ET. cn nl Ds, I= (1) 22(2ÀA—1)...(2À1 —7 — re Ho de be

Si dans l’intégrale | on remplace

(1—2ax—92by + a+ b?) par son développement (40), on déduit que l’on a bien (42) et que

de

Lil (1 Sn CES OU | Un,n(æ; 0 À) Vrn(æ, JF À) dx dy

0 de = Île =

ùÙ

23. Il résulte de (42) que le polynome U,.,(æ, y, À) s'exprime linéairement au moyen des polynomes V,,(æ,Y, A) où p+—q=m+n.

Nous aurons donc aussi r=mMm+n VER — > y Usine . EN) et, par suite, s 1

INC — 7? = ee M aN ra dE dhE0

(i<ierm+nép+g).

Faisons une application de cette formule aux polynomes P, (æ, À).

L'égalité (41) pouvant s’écrire encore

> COS SAN CN LV APR (æ COS à + ysina, À — p

nous aurons

es [l fax) 6 FDA (æ cosa + psina à— 1)

x Py (2 CosB + y sinG, À — :) dédy==0;

si M=£ N. Pour a — $ cette formule se réduit, après une transformation orthogonale et une intégration, à la propriété fondamentale des poly-

ee T ; nomessD (Cr A) SPOUTER— 0, 0 — D Oæ=r cosû, y —rsin0, elle devient

1 var 27 \ jl r(1—7r?) ‘dr f Ps Cr COS 0, À — + Py ( sin 0, À — . doE=0: 0 0 a

Si nous intégrons par rapport à 0, nous avons un résultat nul si M et N ne sont pas pairs en même temps. Dans le cas où M et N sont pairs cette formule est une conséquence immédiate de la formule (49) qui relie les polynomes de Jacobi aux polynomes P,(x, À).

24, Si dans le développement

NE rà

(1+2ax+o2by+a+b?) 2 (=) qe DIN EE, PSN),

nous faisons les changements

Rs eme Joie LE + 02 — 1 VE + n?— 1 De D — Eee AT Ven

le premier membre deviendra À —

ere)

RE

wie

et comme