CIE
À SE " : = dmtn[(£+ a) +(n+8}—1] F2 amer (Ep) d" c d" 6 dir dn n ?
il résulte que
je 1 À (43) a Ton à \ CET ne VE + n—1 | (— DE 2 Je PE + dr (En? bn —— Tr ÊE n?—1) dem PPT :
25. Du développement (40) et de ses dérivées par rapport à æ, y, a et b, on déduit facilement le développement
D {{—2))(i—2ax—2by+a+b) ?—zLa"b"6,,,
SR où l'on à posé
d Ne (æ, YV À)
dæ
d Va tee 1240 À) dy
Dre
+ (A neo) EN CT UE
et de ce développement on obtient cet autre
at(1—92À)(3—2)(1—2ax —2by +a- BR)
‘ d® = Lanbrle = m0"), dæ ;
où l’on voit que le premier membre est la dérivée seconde du premier membre de (40) par rapport à æ. Par suite,
d Von D do, A da? dx
+ mn O,r 0
On obtiendra de môme une autre équation correspondante à la variable y. Donc le polynome V,,,(æ, y, À) satisfait au système d'équations aux dérivées partielles
"à d2z d?z de 1 : dz ds n
(1 æ ) Ts PT Gr dy >) cajeesm) + M(M + n—02 + 1)Zz —=0, dès ds dz ds
{i— y Te TER (m— 2 PE nœ + R(m+n—2h+1)5=0.
Si nous additionnons membre à membre ces deux équations, nous retrouvons l’équation (18) à laquelle satisfont les polynomes Uxn(æ, y, À) de même degré m+n. Le fait que le polynome Vun(, y, À) y satisfait aussi n'est qu'une conséquence du fait que ce polynome s'exprime linéairement au moyen des polynomes Uhr(æ, y, À) de même degré m+n.
26. Entre les polynomes V,,,(x, y, À) et Il,,,(x, y, À) il existe une relation très simple qui correspond à la relation
= Date es js 2À(2À—1)...(2A—n +) ù (30) PR) nee
que nous avons trouvée dans la première Partie. En effet, des
EURE relations
: N * CO Ne has mme, 2), Va? + b?
m+n—=N N V ; 2 212 GE DV. l EN RES 1) = (ar+ 6) Px = il .M+n=N Va? + Bb? 2
il résulte, en tenant compte de (30), que
(45) Ve (2 Us À + :) == (— Fe
* ] AS ne” Æ, VY, m HR — À — — |,
ce qui peut s'écrire aussi DAT) Li mn + T1) CONTES lon on ET) X Vmn(£, Y,m+n—XÀ).
(45°) 1. 376 À) = (— ir
Si dans le système (27) auquel satisfait IL,,(æ, y, À) on change À en m+n— À, nous tombons sur le système (44) auquel satisfait Prn(æ, y, À). Ceei est bien d'accord avec la relation (45).
27. De la relation (45) et des relations (23) et (24) on déduit
2À(2À—1)...(2À—m—n+i) (24—1)(22—3)...(2À—9m—on<+i1)
| Lee ÿs À) 2 (— }7+7
M +71 Ne a D $ æ 5 X Vo | ; 9 ) Min ARE & a? + pi — I Væ? FT y? +
ue (2—1)(2À—2)...(2À—m—n)
Vu (æ, CSS re 2)(21—4)...(21—2m—an)
(THE y? —1) ?
/ D \ X< LEE à Es SAN E 7 ee HE = » M = JDE À | . V2? en UN Vi VII ;
Donc on peut déduire Île polynome U,,,(x, y, À) lorsque l’on connait le polynome Vyn(æ, Y, À) et inversement.
UE
28. De la relation (46) on déduit, en tenant compte de (43), . 2ÀA(2À—1)...(2A—m—n+i) I Gr) (2A—1)(242—3)...(21—2m—2n+1) mlnl
ns dl 3 Pit * : à + AIDE y}— I 2 AS (æ VE 1) dx" dy"
Nous avons ainsi une autre démonstration de la formule (16).
29. Représentons le polynome V,,:,(&,y, À) par la fonction hypergéométrique F,(&, B, B', y, y, x, y). Faisons pour cela, dans les équations (44)œ €, =», m—2p,n—2q:elles deviennent
(E RC ln ri -| ds . ds ES ne
é— 6) en Ras + [= (—i+yti) 7 pa + pp +1 ét
D d?z net a. ds - dz SE rie Te re É + D cn sait +a(p+a niet) CRC
et 1l résulte
: ar NUE I :
N Con 0) AA tnt — À + hole dieu d n).
A doit être égal à V,,,:,(0, 0, À); donc
Q—5)( is) (pat)
(47) Verre = pq!
t Tu x F(p+g—i+ ARTE #,y).
Si les indices », n ne sont pas tous les deux pairs, l'expression de V,, se réduira de la formule précédente par les relations : Cr À — L),
D; Verte N£ À) = re 2À) Ne (æ, Y, À — 1),
D, Vale d == (1— 2) Dre:
DEV, Ge 0) 2e te D)
