DIU

La première équation de (1) nous donne facilement Ÿ. En effet, en posant d’abord d — xv, elle deviendra

(7) a pp" Qu p'?+ (20 +A+u+4)er = 0,

et puis, en posant

nous aurons ay'+(8+1)y +Ay—=o, où A=20+À+u+3.

On en déduit

Sa PYATS et Ve av.

On est conduit, en tenant compte de l'équation (7), à légalité

No 2 reve 2:

(9) An Le 0 (0 G

qui n’est possible, comme on le voit immédiatement en utilisant la relation (8), que si A= 0, À = — 1 où À = — 2. Examinons séparément ces trois cas :

1° A —0o. — La relation (8) change dans ce cas, elle devient

av! 1

p (6+1)LogGa

et pour que l'égalité (9) subsiste, il faut que C, = o, donc + égale une constante C, et, de plus, que À = &. Nous aurons done

= DES CASE y — Ca, 9 = EE, 20+1+up+3—0o et À=p;

TN

+ D LS 2 Î ce qui nous conduit, en remplaçant C, x ÉTREMEONE ES CA à

divisant par une constante, à la solution (10) z—(1—2ax + œ)À de l’équation aux dérivées partielles

ds dz d?z

(11) (i 2°) (21 1)æ - ST dz

+ (1 —2laT =}

Remplaçons dans cette équation z par sa valeur (10) et puis différentions cette équation x fois par rapport à «, en faisant ensuite « — 0, nous arrivons à l'équation

(12) (i—a?)y"+4 (2X —i)æy'+ n(n—2)y—=o qui aura pour solution le polynome

1 | d(1—0ax Fa) PE, À) = — | "7 .

EE) n| da” a=0

Ce polynome est précisément le coefficient de +’ dans le développement taylorien de (1—2xx+ax?) suivant les puissances de «.

Nous aurons donc

(13) (Gi—2ax +} ZEarP,(x, À).

Le polynome P,(x, À) satisfaisant à l'équation (12), et comme cette équation ne peut admettre d'autre polynome comme solution, il résulte, d’après ce que nous avons vu pour l’équation (3), que l’on aura k+> dt(1— x?)

(14) PANNE) dx"

A, étant une constante qui se détermine facilement. Faisons, en effet, æ——1 dans les deux membres de (14). La formule de Leibnitz, donnant la dérivée zi°"e d’un produit de deux facteurs, montre que l’on a

3 ln / > \+U. 2 n+t | LR 2) | 20 +) + pi) (pr);

ie

tandis que le développement (13) nous donne immédiatement la valeur de P,(— 1, À). Nous trouvons ainsi

GONNPe C2

Navi

TN = __(—1)% 2A(2X—1)...(24À—n +71) e :

Cr; BRON EE en 1 ‘0

À+ ;d"( — x?) dx" ou bien

(—1})t (au+i)(2u +2)... .(au+n)

dn(s FA ELA) nr Eine) (ur)

dx”

2° A —1.— L'égalité (9) ne sera vérifiée que si CGiG=(0+i1)(—p) et (—p}=1; # sera donné, d’après la relation (11), par l'équation

dv da p (0+1)æ— C

Donc, à un facteur constant près, nous aurons

p—=[(0+1)a — C,P+ ou bien

[Ce punir

En prenant & — À = +, nous déduirons, comme précédemment, des valeurs correspondantes de Ÿ et o, que l’expression

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(Gi+a)(1—2ax +)