CIE

est une fonction génératrice des polynomes J,(æ, £ — 1, £). En posant donc

(16) (i+a)(1—-2ax+ a )}=ZarR,(x, À), R,(æ, À) satisfait à l’équation

(G—aæ)y'+(—i+aiz)y'+n(n—2À—1)y=0

No et l’on a

he (=. — :) DJ (Ca E—1, & ))e

B, se détermine comme A, et l’on trouve

AL DER). (2 7 1) OC TNT AN AT ETES Pour u. — À = — 1 on sera conduit à un développement tel que

(i—a)(1—a2ax+a)\—=ZXarS,(x, à) qui ne diffère pas du développement (16), car Rx, À) =(—i)S,(— x, À).

3° A — 2. — L'égalité (9) est vérifiée si Xp ete Di.

La relation (8) donnera pour + p—=[(0+ha—Clr.

D'où l’on déduira la fonction génératrice

(17) (a?—1)(1t= 3ax Fa} 1

des mêmes polynomes (14), la valeur de la constante A, étant différente. Nous aurons l’occasion de retrouver l'expression (17) et son

développement d’après les puissances de «.

4. Les polynomes P,(æ, À) et R,(x, À) sont ce que nous appelions, en tête de ce Chapitre, polynomes de Jacobi à fonction génératrice simple. On pourrait, de même que nous le ferons pour les polynomes P,(+, À), étudier directement les polynomes R,(æ, À). Ces polynomes se relient, comme il résulte des développements (13)

et (16), aux polynomes P,(æ, À) par la relation

PÉCMDERP 00 R> (2).

Nous aurons donc

GB) Puf —t-{)+Piufe —E—:)

D LE lice on) E(E+I).. .(É+nr—:i) n (es 6 LE

Donnons, comme vérification des résultats précédents, une démonstration directe de cette formule. En remplaçant dans (18) P,, P,,, J, par leurs valeurs de (15’) et de (4), nous sommes conduit à

19£ nr diti(r— g)}rtité d'(1-- œ°}r#

(9) — (Rx)

PU EP EN HET 7 dx" ne dn#i(1 ee — L}ees après avoir remplacé z par z + 1. En posant pas nous aurons Re (2) LT o(n+ne dE —(n+nny, PASSES Eee on

De sorte que la relation (19) deviendra, après des réductions,

l'y l + +oke ir +n(n +2Ë+I1)y=0,

équation différentielle qui admet bien la solution (20), comme il résulte de ce que nous avons établi pour l’équation (2).