Démontrons que l’on a l'égalité fondamentale
X Hs PNR 7 (Ci sc.) Ts, LV, Es CAR DO Æs, À) GIE, 0 Chr 0,
I nt » x x $ AN ; cts l'on n’a pas en même temps ,= n,,...,m,—n,.Caleulons,
pour cela, l'intégrale
: ed EAN rm {s) S—1
X Un mti 2, A (—2@t—...—0a;x,+ai+...+a) ? dxe…..dæ,
Root qui se ramène, après avoir remplacé U2,.par saivaleur, (52),et fait mn, +...+ m, intégrations par parties, à
PES Dre Ne
(70) = Car…are f (Tr: cm) aline Soul {
s) . PAM — — À (l—2ati—...—2a;x,+ a? +...+ a?)
où l’on pose
G te —=) C Li " 1) ( ps — mm) C — (— 2 Métro PT RE Ed ne RS ne 2er RS TE A
Hniloo HE
DIN) EE 0 EL) (2À— 1) (21 —3)...(21— 2m —...— 2M +1)
Si dans l'intégrale précédente on fait la transformation.
__ }1 + do Yo
Aa Vi — A Yo D na Vai+ a
. Vai+a on voit que la variable y, disparait dans l'expression 1— 24% — 2aBa—. — 2 ds + Ai +... + a
et que le domaine d'intégration restera le même. Après s — 2 transfor-
mations analogues, nous aurons
e 1 Mat. EMA ——
(i—xi—...— x?) û
1 Ca . as
se dr. dæs, ( 2 Jo nt —— — À I—2X%:; i; où l’on a posé
Va} Le. +a:.
En intégrant par rapport à æ,, &,,, ..., æ, nOUS aurons
S—1 s 3 | Ta roue normales | Lu
+1 2 2 2 Ur Cas. age [| ( 1) CÉMepe A
ee ae?
(1— 20 Ti + œ&) È
mA À ; ul s HE ml “f CERN RE RENTE G— 7) .* dys.
La première des intégrales de ce produit ne dépend pas de «, si|æ|<r, comme on l’a vu pour l'intégrale (78) dans la première Partie; À. Pa
ie
nous aurons donc
GT I (ms ms + : —À +:)
LC re ae Tr) Et rm +. SOS BA n émet +1)
11 X one —- - L (rm. cine. + MS — À 1 )
Il ( 1 . nm, À 1) x D en + — I m + — À
Il Cm … ms Fi + ) ( 1 m —— 1)
ou bien
s r(m+.+mi+:)
sS+I D'Or +. DL Dire Li à) d’où l'égalité (69) et aussi l'égalité ser il (i—xi—...— x?) AN M PNR AT EPL er FA at (s)
ei s (mt m +) = Cr) .
SET (ru +..+ m+ 3)
59. Il résulte de l'égalité (69) que le polynome U,, .., s'exprime linéairement au moyen des polynomes V, ., où
Rte += M+.. + Ms; on en conclut
X VAN (æa, pie: Ts, DINAN S14"29 Ts; À) CEE > AR O, À< . etsim, +...+m,£n,+...+n,. De cette égalité on déduit, en tenant compte de (68), que
9 & à} fu—ai...— at) =
x Py CR ASS ER RES ANA Ca 2
(Di Li Pb ST Sr SAT RE =, À- au) AL CARE 0:
Vbi+...+ bi
même domaine d'intégration, À € . LME N:
die
60. Si dans le développement (67) nous faisons les changements
48 is ne J's
== a —— °) Lg =" VIN Er VÉTRE RREEEe e À ns =" 421 1 . . ds —= s
— on ——————— VYi + pi:
Je Er
nous déduirons, comme dans le cas de deux variables, que
é y (71) V2 VE) le CHERS) a à) VE VE L = ph tms TAGS SNL RS
Ai UE
THAT $S —1 date. ( 2 DE. À 2 | Fi... +y?—1) À
dy... dys
61. Le système d'équations aux dérivées partielles auquel satisfait le polynome V,,...,.(æ,, ..., æ,, À) se forme facilement. En effet, du
développement s+t (S—2À—1)(1—-2 ax —...—2a,x,+at+...+ a?) CPE AUS A ARS où l’on à posé dV V ro) = 5 Pas ee ms A Z Are ms Ms, M sf dx, De 1 S dx,
te (M +. SOI Ms + S — = DAV
qui se déduit de (67) et de ses dérivées, on obtient
— S+1 Qi(s—2À—1)(s—2+1)(—2@ mr 2Os dir. de) 2 = dO — 247: as (z TANT m.® 14 ds 1 10 7 } dx; 1 ;
où l’on voit que le premier membre est précisément la dérivée seconde par rapport à æ, du premier membre de (67); donc
CAN 00m
(72) Nr ne. +m0,,
ce qui est une des équations cherchées. On aura, de même, less — 1 autres correspondant aux variables æ,, ..., ,.
AO D NÉE 62. Entre les polynomes V,. , etIl, il existe la Aontes simple (73) Vas im (et re me: À he: =)
— (— RER Ms
AIRE (a, ss Css Mate + Ms— À — :
qui résulte, comme pour deux variables, des relations (56) et (68). On aura donc un système d'équations aux dérivées partielles auquel satisfait le polynome IL, ,,(æ,, ...,æ,, À) si dans le système formé par l’équation (72) et les s—r autres analogues, on change À
en Mike My— À + EI.
La relation (73) peut encore s’écrire GE) Rail Por ES ne TS 2RA(2À—1)...(2À—m—...— m;+H1) (2A—1)(2À—3)...(2À —2m—...—92m,;+1)
s K Non me Lis ND Mie ms À + = ue
