DE D OCT ES ET

D ES CHOC Mure ) F(nmi+...+ms+s—2À—1) És NÉ RU À) valable quels que soient les a et les x.

84. On peut facilement former une équation aux dérivées partielles

à laquelle satisfont tous les polynomes w,, .,. et ©, de même degré N. En effet, si dans la relation

(1 — a) PE(e, À — —) $—1

RG s)e Pas à) NAN a 81) PA 1) = 0

mi +.

on remplace x par ATi+... + AT,

vy(a)

et qu'on multiplie ensuite par [Ÿ(a)f°, on voit, en tenant compte de (96) et de ses dérivées,

d © on dli+...+a ee DR (2) Pa | RES EE “|:

—. dx; d(a) D æv ee COTE di

D ag. ages ajax 4 (a)] * PR ES, à — = |

A dt, Va (a) A,

que les polynomes ©, de degré m,+...+m,=—N, satisfont à l'équation aux dérivées partielles

(98) V(a)— (ax +...+a.x,} + (21—s)(am+...+aæ)+N(N—2À+s—1)3—0,

———— ef a; par a dx; 0 ë P dx;

A cette même équation satisfont aussi les polynomes vw, de degré m, +...+ m,= N, parce que ces polynomes s'expriment linéairement au moyen des polynomes ©, de degré n,+...+n,—=N. Il est facile de vérifier ce résultat pour les polynomes V COURIR

où l’on remplace a;a, par

85. Si dans le développement (79) on remplace les a; par a+ et

les +; par Gi / — et que l’on fasse ensuite croître indéfiniment À par des valeurs négatives, la limite du premier membre sera

do(a) 1

e? PAU UN Er RER E 00 0 >}

expression qui coïncide avec la fonction exponentielle par laquelle Hermite définit (‘) ses polynomes U, ;',»", …

De même, si dans le développement (95) nous faisons les mêmes changements, on trouve, comme limite du premier membre,

BLite ass > Ÿ (a) )

(1) OŒEuvres de Charles Hermite, 1. W, p. 301.

qui coïncide avec la fonction exponentielle par laquelle Hermite définit (*) ses polynomes V,,, … car il est facile de voir que, avec nos notations, la fonction par laquelle Hermite définit les polynomes V . peut s’écrire

Pat R, TV.

1 d'U(a) FA APN IR

dU(a) de(x) 1 (ee e* da dx 29 2

da, CRE 2 da

et que ces deux dernières fonctions exponentielles sont identiques en vertu des identités

NOR ae da or CAS

1 dy(a) do(x). 1 dY(a) do(x) 4 da AC RUN) D da, da

(2 SE) = ya)