HA COTON

Mi+...+Mm;=p

— pm mm P=Æ > ins, ms lie LS Se

Ms +...+ ms =0

En écrivant les conditions (1) au nombre de N, ,, on aura, entre les coefficients &,,..,, autant d'équations linéaires et homogènes qui permettront de les exprimer tous en fonction de : d’entre eux convenablement choisis, en désignant par & le nombre NAN None allons montrer qu'on peut prendre arbitrairement les £ coefficients des termes de degré p dans P, c’est-à-dire

(2) ni, ...,m, (mu +... mp),

les entiers m,,...,m, prenant toutes les valeurs positives ou nulles telles que leur somme soit égale à p. Dans les équations du premier degré (1)

qui déterminent les autres coefficients en fonction linéaire et homogène de ceux-là, le déterminant des coefficients des inconnues &,.. (4 +...+i<p) n'est pas nul. En effet, si ce déterminant était nul, on pourrait supposer les coefficients (2) tous nuls et tirer des équations (1) des valeurs des &,.. ; (1, +...+ t, <p)non nulles toutes à la fois; on aurait alors un polynome P, de degré p — 1 seulement, vérifiant les conditions (1), ce qui est impossible; car, en multipliant chacune des équations (1) par le coefficient

AU RAS à) et ajoutant, on aurait

J KP. de —0, (s)

condition absurde, puisque K a un signe constant.

Ainsi, on pourra résoudre les équations (1) par rapport aux coefficlients &, ..;,(2,+...+i,<p)et les exprimer en fonction linéaire et homogène des coefficients (2). Le polynome le plus général P vérifiant les conditions (x) est donc de la forme

D V PE On, ms V mi, Mss

M +... +Ms—=)

avec z coefficients arbitraires, V,, (M, +...+m,;=—p) désignant des polynomes linéairement indépendants. Ce dernier point est évident, car le polynome V, .,(2,+...+n,=p) contient un seul terme de dose pletermert#rvar,

Nous appellerons les polynomes P, polynomes de la classe (1).

2. Tout polynome en x,, ..., æ, de degré p peut être mis sous la forme d’une somme de polynomes V,. …. de degrés égaux et inférieurs à p multipliés par des constantes.

Pour le montrer, il suffit de faire voir que si ce théorème est vrai pour un polynome de degré p — 7, il l'est pour un polynome de degré p. Soit donc un polynome de degré p, que nous écrirons

sas D (Ds 1) Op li: Ce) > RP A nt... +fs=p

en mettant en évidence les termes de degré p. Le polynome

Ve or » la NE re

it... +ns—=p

est également de degré p et a les mêmes termes de degré p que le polynomeo,(r:. 2). Ladiiérence

Pp(T1 PAU) Vire ECS)

est donc un polynome de degré p—1 exprimable par hypothèse à l’aide d’une somme de polynomes V,,,.

3, Désignons par PA V==r2- Nm NP DEEE ad inf.) les termes d’une suite complète de polynomes de la classe (1); supposons, dans cette suite, les ? polynomes (7 =N,— N,,) d’un même degré p linéairement indépendants. Donc une relation de la forme

Y—=1 > HP ten

n’est possible que si tous les 4, sont nuls. En mettant dans cette relation les polynomes P/ sous la forme

(3) PY = ba D 50h; NES Fes nm, (y NN Gun G)}e

Mi Em p

nous voyons, comme cette relation n'est possible que pour des valeurs nulles des w,, que le déterminant des coefficients des Von +...+m=p) dans les z relations (3) est différent de zéro. On pourra donc tirer, de ceszrelations, V,... M (m,+...+m,=p) én fonction des P}/(y—1,2,...,1). Par suite, le théorème plus général que le précédent :

« Tout polynome en x,, ...,x,de degré q peut être mis sous la forme d’une somme de polynomes PP(Y= 12%... N IN ucdeares égaux et inférieure à g multipliés par des constantes, les polynomes P°?? de la classe (1) formant une suite complète et les ? polynomes (= N,—N,,) d’un degré p de cette suite étant linéairement indépendants. »

4. En désignant par P et P# deux polynomes quelconques de la classe (1) de degrés différents p et g, nous aurons évidemment la relation

1 POP dE — 0.

Supposons que l’on ait trouvé, d’une manière quelconque, une suite Complétéedepolynomes AP =" 2) NN; pr 1,2,...adinf.) tels que les zpolynomes (?=N,—N, ,)d’un degré psoit linéairement indépendants et que l’on ait

(4) j ADAM 0; (s)

si p q. Les polynomes A° sont de la classe (1). Pour p — 1 les relations

[KA de … de, = 0 (= LS) (5) nous montrent que les polynomes A°° sont bien de la classe (1).

Notre théorème sera démontré si, en le supposant vrai pour

les polynomes de degré p —1, nous prouvons qu'il l’est aussi STE [ q

pour les polynomes de degré p. D'après le théorème précédent, dr... de (ti, +...+i,<p) peut se mettre sous la forme d’une somme JORTOPnOMe RU GENC Sr. IN N em 2 put tipliés par des constantes ; donc, des relations (4), on déduira que l’on

P P , , , q doit avoir

J Ken... dm. dr=o | (ir... hé<p) (s)

pour toutes les valeurs positives ou nulles des entiers z,, ...,c, dont la sommeest moindre que p. Les polynomes A,” sont donc de la classe (1) et notre théorème est démontré.

5. On peut démontrer de même que, si l’on a deux suites complètes de polynomes Bet CO} (y=1,2,...,N,—N,;;p —=1,2,.., ad inf.) les z polynomes (1=N,— N,,) d'un degré p, dans ces deux suites,

mire

étant linéairement indépendants et si

[ KB CS dx, … dæ,—0 (s)

pourpÆgq,aN,—N,,,B©N,— N,.,, les polynomes B;%et.C;#sont de la classe (1).

6. Associons aux polynomes V,. des polynomesadjoints W,, ..». tels que l’intégrale

Ë ne ANRT ee dæy. HUE (s)

est nulle tant que l’on n’a pas m,=n,, ..., m—=n,. Désignons les z polynomes adjoints de degré p par W® (y =71,2,...,N, — N,:,); ces polynomes étant de la classe (1) posons, pour les déterminer, NUE Ga N Sn Cod se ... + MEN, MES A PET PAS

onLo lee ele ere elele pelle ses se eee 6e) vies © ose 7

En AéSISN ALU MDATAN = 120 aN ON) ler Lolrnomes Van +... +m,=p), les polynomes V?’ et W,? désignant des polynomes V et W de mêmes indices m,, ..., m,. Donc

(6) d KV PGE ee=S, AS) u et y désignant des entiers différents. Posons encore, pour abréger,

Co) Av il K VV da; sh dæs (Auv = Av); (s)

et considérons la forme quadratique de z variables y,, 72, ..., y: HV —i

d(Y:: RS DE Au Yu Yv Bæ+v=i

ou, d’après les valeurs des A,,,

RUN SE TR = 0 CraVP EE ya V PE REV dre

Hire

De la première des relations (5) et des conditions (7)nous déduisons le système Gi Ai + Go À +... + Ai Ci, 11 A1 + Lio À 90 +... + ŒsAo; — 0,

1 À 1 + io À +... + GiA;: 0,

C, étant une constante quelconque, car les polynomes W seront déterminés à des facteurs constants près, qui nous permettra de trouver «,,, Lis +, &,; Sans indétermination, parce que le déterminant des coefficients de ces inconnues dans ce système, étant précisément le discriminant de la forme quadratique Ÿ, n’est pas nul, car de l’expression (8) de Ÿ il résulte que cette forme ne peut s’annuler que pour des valeurs de y,, y», ..., y; nulles à la fois. On pourra déterminer de même toutes les quantités à, de (5).

Les polynomes associés W nous permettent de prouver l’existence d’une relation de la forme

Ve 1,771a, es /ts

D ae À RAA as Set ; DRE NS RS

Rat... + =p Vi. +Vs=p—1

où m,+...—+m,—=p et de déterminer les coefficients À... ettu.

7. À toute suite complète de polynomes de la classe (1), DCE T2 6 NN pr 2. ad inf), les z polynomes (G=N,— N,) de degré p étant linéairement indépendants, on peut associer une suite complète de polynomes

MO NN D 1,0 ua n).)

tels que l'intégrale 1 K WP dx, .… dx,

est nulle tant que l’on n’a pas p — q et u = v. Les polynomes cherchés W°? doivent être de la classe (1); on pourra donc poser, d’après le théorème du point 3,

Wi= BP + Ba PP +... + BP (Vera rn)

Ces v relations nous permettent de déterminer les ?° coefficients By, comme nous l'avons fait pour les «,, de (5). On formera, de même, une forme quadratique qui, mise sous forme d’intégrale, nous montre que son discriminant est positif, les ? polynomes P étant linéairement indépendants.

8. Proposons-nous de chercher les suites des polvnomes UE PORN ON pre 0077) de la classe (1), les & polynomes (:=N,—N,.) de degré p étant linéairement indépendants, qui soient tdentiques à leurs adjoints, c’està-dire tels que l'intégrale

1 KUS/U{" 4x. dx, (5)

reste nulle tant que l’on n’a pas en même temps p = get u = v. Voici comment nous formerons les : polynomes U}” d’un degré donné p. Posons Ur == 1 VO + 2 VA) + CCR == CHAN ISERe = Ne ee NÉE Pen) NE

(9) MUR ME ND Ce Vie

JT CR de Cuir GI Ie NADUTE constantes dont le déterminant n’est pas nul. Nous allons montrer qu’on peut, d’une infinité de façons, déterminer ces constantes, de manière à vérifier les conditions suivantes :

Go) 1 KUP'UP dx, … dx, —0, (s)

u et y désignant des entiers différents.

En gardant les notations (7) et (8) on voit facilement que la condition f AURA EE TT