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devient, si l’on remplace U®” et U? par leurs valeurs (9),

dY (os, CRT) nr: CUICITE Œi2y ses Us) db (œr, Cr) Re

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et, en général, les conditions (10) peuvent s’écrire

DUC Aya -. dyt) DU ei) dd (a Cyi) ya | ES, 5 day: “£ Gas Fe day:

Sous cette forme, on voit que les conditions (10) expriment que, dans l’espace à z — 1 dimensions, les points ayant pour coordonnées homogènes

(CE Œyas +» +» Ci) (Go U223 +» Loi) 40% (is Cia G'OEcr) Qi)

sont les sommets d’un polyèdre de & faces, conjugué à la quadrique Ÿ(Yy,, 2, ..., y:) = 0. Nous avons vu que le discriminant de la forme quadratique Ÿ n’est pas nul. On pourra donc déterminer les ANT OR rm UE à 2e. Mar) 2 0 lis: tn) d'DE tninité de facons, par exemple en décomposant la forme Ÿ en carrés. L’une de ces déterminations étant adoptée pour chaque degré p, on aura des polynomes U}? tels que

(x1) [ KUP'U(® dx, ... dx, —0, (s)

tant que l’on n’a pas p—g et u—vY. De plus, comme les quan- HS 0) be de (au. dr )nesontdéferminees qu’à des facteurs près, on pourra supposer ces facteurs choisis de telle facon que les intégrales

ï RIDE 77 ur 1 NET dz % KID PaT Sr es) (5) (5)

qui ont pour expressions respectives OPA de TT Use 222 Aasho ce d UT 71: Lies = On)

soient toutes égales à l'unité (").

En résumé, nous avons formé des polynomes (Se satisfaisant aux conditions (11) et en outre tels que

(u2) [ RUE ZE 22 =", SA (EN)

quels que soient pet YCY=N,—N,.).

(1) K étant positive dans le domaine D.

Un polynome quelconque d’un degré p, ®,(æ,, ..., æ,), pourra se : (p) le mettre sous la forme d'une somme de polynomes U?? multipliés par des constantes

\ NN r r (13) D Eh. D: A9 UF”,

et des relations (11) et (12) on déduit = f Ron le (s)

On peut à l’aide des polynomes U? résoudre le problème suivant :

Déterminer le polynomeo,(x,, ..., x,), d'un degré donné p, qu rend minimum l'intégrale

J =} KE SC: -.., æs) — PT; FC) dre QUES (5)

f(x, ..., æ,) étant une fonction donnée, bornée et integrable de même que son carré, et la fonction K étant positive dans le domaine d'intégration D.

Remplaçons dans l'intégrale J le polynome 2,(x,, ..., æ,) par son expression (13), en fonction des polynomes U}”, et considérons J comme une fonctions de At One, CN EN Don 7) POUR avoir son minimum, prenons les dérivées de J par rapport à chacune des variables À” et égalons-les à zéro. On aura ainsi

dJ :

. = f K Ca... ds) UN des. des + N° — 0, (s) donc (14) x = | K/(an.. a) UP de. de.

ts) re SN EN rer ne D):

Ces valeurs des À}” rendent minimum J, car les dérivées secondes sont toutes positives et égales à l'unité. Il résulte de ces valeurs des À? que si dans le développement en série de polynomes Léide rer) on s'arrête aux termes de degré p, inelusivement, ‘on obtient précisément le polynome ©, rendant minimum J.

Calculons la valeur de ce minimum J. On voit, en effectuant le carré 5 UP RAR qui est sous signe d'intégration, que

PPT =N;-N;