Le développement

(13) Sara PP; (x, À) 2... cP,(x, À) L:..,

où &, æ et À sont des quantités réelles, est valable pour|æ| << 1,|a«|<1 et À quelconque, car, en posant æ — cosy, nous aurons

(a — 24 cosy + a) = (1— a ei) (1 — à e}À, rer Mais chacune des expressions (1— et) et (1—aœe i)À

peut être développée suivant les puissances de &, pour [a] 1, et du

re produit de ces deux développements, nous déduisons le développement considéré. Nous trouvons ainsi pour P,(cosy, À) la valeur en RONDE, AQU — 1)... — n +2) (ny:

n!| (n —1)l A(A— 1) À (À — nn + 3) (n—yi se ÀAÇA—1)...(À—n +1) er | 2! (n—2)! n|

ou bien, sans le symbole z,

COS(n—h)y +;

A COS ny + (—1)"22 n |

(22) (—i)ra

(A —1) A..(Â— nn +3) 2} (n=%)l

X cos(r —2)y + nn 2

le dernier terme de cette somme étant

2? cos y

(=): en 2 2

si n est impair, et

si 2 est pair.

On voit, sur l’expression (22), que P,(cosy, À), polynome de degré z en cosy, est aussi un polynome de même degré en À.

7. L'expression (22) des polynomes P,(cosy, À) nous permet de trouver l’ordre de grandeur de ces polynomes lorsque 2 augmente indéfiniment. Remarquons pour cela, que sio > À > — 1, les coefficients de cosny, cos(n — 2)y, ..., dans l'expression (22), vont en décroissant.

Donc, d’après un lemme d’Abel,

Ho Un POUCES

> P,(cosy, À) > m(—1)2 =

ee CAES

en désignant par M et »2 la plus grande et la plus petite des sommes

Sx— Ccosny + cos(n —2)y+...+ cos(r—2#)y,

\ n : De :

où # prend les valeurs o, 1, ..., - (partie entière). Mais les sommes S4

. I —?1 sont toutes comprises entre —— et ——; nous aurons donc SID y Sin y

291 A1)... (nr +i)

23) ID M) = 5 ( (æ, À) Ts

pour 0Dœ > —1,[æ|<1; 0 varie avec æ, mais [0[<1. Lorsque r augmente indéfiniment, on sait que l’on a

(nr + a) —Vare tn" 3, donc n-X=1

T(— 2) Vi — x°

Par conséquent P,(x, À) est, pour les valeurs indéfiniment grandes de », de l’ordre de n=', Nous avons établi ce résultat dans l’hypothèse 0 À © — 1, mais nous verrons dans la suite qu’il est valable quel que soit À.

8. Considérons la série du second membre de(13) comme une série en æ, et démontrons que si [æ|<1 et [x| 1 cette série est absolument et uniformément convergente. Supposons d’abord À 0; nous voyons alors que nous aurons le maximum pour la valeur de l’expression (22) de P,(cosy, À) si y — 0, ce qui correspond à x = 1.Il s'ensuit que les termes de la série (13) sont inférieurs, en valeur absolue, aux termes de la série qui représente le développement de

(i— aa + a) (1 — a)"

suivant les puissances de &«, o <a <[1, série qui a tous ses termes positifs et qui est convergente. Si À > 0, nous pourrons toujours Île supposer de la forme À=m+7,, où 77 est un entier positif et

0>À,>—1; donc

(G— 2ax + a) (1—20x + œ?)"(1— 204 + a}.

Enr

Ceci nous permet de voir facilement que les termes de la série (13) seront, dans ce cas, plus petits, en valeur absolue, que les termes de la série qui représente le développement de

(G+2a+a)M(r— 20 + at) (1 + x) (1 — où )?h,

suivant les puissances de «, o <a < 1, série qui a tous ses termes positifs et qui est convergente. Donc, pour toute valeur de à, la sèrie (13) est absolument et uniformément convergente.

9. En intégrant les deux membres de (13) par rapport à æ, nous aurons

(25) (G—oax+ae)M=R,+akR+...+a"R,;+...; R,:, doit être tel que l’on ait (26) RE 00 PE CE 0)

Mais le second membre de (25) doit être de la même forme que celui de (13), donc Ron Prn(z, À +01) et l'égalité (26) devient (Er? [Pne(e, À Hi) 2 +1) Pa, D:

On pourra, à l’aide de cette relation, calculer P,,,(x, À) lorsque l’on connaît P,(x, À) et la valeur P,,,(x, À) qui se déduit immédiatement du développement (13).

En dérivant, par rapport à x, les deux membres de l'égalité (27), nous déduisons, de proche en proche, la relation plus générale

dB (EC 0) So

(28) ET (—2)7A(Â— 1)... (1 —g+1)Ph (x, À — g).

Si nous remplaçons dans cette égalité P,, et P,, par leurs valeurs tirées de (15’), nous aurons

dr (x ee A) EN q EE PA | RE Er ee, d LG LA) nn |

dx1

d"-—gq ( D re )rRt

A 2\u— —= A(1 —x?)v-a ee

Ho À étant une constante. En faisant u — 0, on retrouve une formule donnée par O. Rodrigues et puis par Jacobi.

Pour g = m, la formule (28) nous montre que le coefficient x” dans le polynome P,,(x, À) est AO AUE rh

( 2 je

10. Si l’on fait À — o dans le développement (13) on est conduit à l'identité 1 — 7, car tous les polynomes P,(æ, À) sont nuls pour À = 0. Mais si nous considérons l'expression

1—(1—20ax + a) :

sa valeur, lorsque À tend vers zéro, est

Log(i— 2x + a?) Nous aurons donc

Log(—aae tar) | 21e À)+...+a"P,(x, re] :

On connaît le développement

(29) Log(r — 2ax + a?)

2@ COS(arc cosæx) 2@" COS (arc cosæ) = I . Diet ie CCC] Il résulte que P,(zx, À 2 =; —— —cosn(arc cosæx).

On voit de plus que, par continuité, le développement (29)se rattache au développement (13).

Propriétés des polynomes P,(x, À).

11. La propriété fondamentale des polynomes P,(x, À) est celle d'orthogonalité représentée par l'égalité

HA Dr (30) che (1— x?) AP JON EE h) de,

NE = et m -/ n. Cette égalité est une conséquence de la forme (15)des

polynomes P,(æ, À). Elle résulte aussi de la valeur d’une intégrale indéfinie qu’on peut rattacher à l'équation différentielle (12) des polynomes P,(æ, À). Considérons plus généralement les équations

M(æ)y"+ d(z)y'+4k ds(x)y —o, di (x) y + W(x)y'+ A Ws(æ)y = 0,

qui ne diffèrent que par les valeurs du paramètre 4. Soient Y;et Y,, des solutions respectives de ces équations et 9(æ) une fonction déterminée par l'équation

[hi(æ)o(x)le= de(x) (x).

On trouve sans difficulté la combinaison intégrable d ! : (ki) oz) Wa) Ya = de) (e) Ta Ye — Ya Ye] li d’où l'intégrale correspondante, qui, dans le cas des polynomesP, (x, À), est (31) [m(m—2k)—n(n—2))]

ei dur < fui 2) BP D de re) MP PE SD)

Si l’on intègre entre les limites — 1 et + 1, on retrouve (30). A FRS : . A 2:

Il se peut que l'égalité (30) subsiste même pour ÀZ=; il faut pour cela que P,(x, À) contienne (1 — x?) en facteur, ce qui arrive si À est de la forme p + = p un entier positif ou nul. Car, si nous considérons le développement

(i—2ax +)

et ses p dérivées par rapport à +, on voit, en faisant dans ces dévelop- J

pements x = + 1 et x — — 1, que tous les polynomes BE PE :) )

où n>2p +1, et leurs p premières dérivées sont nulles pour ces

valeurs de x. Donc DE Pp + :) n>œ2p+1,a(1—x*)+!en facteur