En conservant les hypothèses du Théorème précédent

Imschene tsky : Sur V intégration des équations

iinaginons que, à l’aide des systèmes d’équations (4), chacune des n premières quantités de la série

Pn* Æ’ij Xn

soit exprimée en fonction de toutes les variables qui la suivent dans cette série, et du nombre nécessaire de constantes prises dans la suite a, «i,..., a«i; et supposons qu’on ait ainsi trouvé

Pi — Pn, ÆTi,..., Xn> «, «1,..., ai-i) — 0,

pu— f {pk-Y^ly . , Pn, Xi,.,., Xn, a, «1,..., a*i) == 0,

pour i<^k.

Nous allons démontrer que les premiers membres de ces équations satisfont identiquement à la condition

(pi-F, pt-f)=z 0,

pour toutes les valeurs de i et de k comprises dans la suite des nombres 1, 2,..., n.

En considérant a, fli,..., «n-i comme des fonctions des variables, déterminées par les équations (h), nous aurons, en vertu de la formule (5),

i- ^ r> O (anif Ol).

=0 com oai

En substituant les valeurs a = /f, la fonction F

se changera en pi, la fonction f en pk, et le premier membre de la dernière égalité prendra la forme [pi, pk]', il sera, par conséquent, identiquement nul. Le dernier terme du second membre est nul, en vertu de la condition

(um, m) = {Hm, Hl) = 0.

On a, par suite, identiquement

(F, f)F 2 (F, am)^

Les deux sommes du second membre de cette égalité peuvent se ramener à une forme plus simple. Pour cela, prenons les égalités

aux dérivées partielles du premier ordre.

Qh. IV, il. 59

dF 8a ^ ^

8pi dxi

aF ^

dpn 8Xn^

^ 8F 8ak-\ , , 8F 8ak-\

{F, ak-i) = "â^ + • • • + gF„ dpn

8F 8ak—i

8F 8ak-

8pi 8xi ' * * 8pn 8xn *

multiplions les respectivement par •••> 0^-— - » et ajoutonsles, ce qui donne

m=k-l df

ni=0

dF

dxi

Wi

8xn

8pn

8pi-\-i '

La« a^r^-fi

a/* 8ak-

8pn V

8pn \8a 8æn

a«jS:]

I 8pi

Sf

a«fc i

8ak-i

^Pn .

df

8ak-i

aafc-i

8ak-i

aajt-i 8x%

Mais si l’on fait a=H, «i l’équation f = pk se

changera en identité, et en la différentiant, on aura

8a 8pi

8f 8a 8a 8pk-i

8a 8pk^ *

8f 8a 8a 8pk^i ^ ‘

8ak-i

L 8pi

8ak-\

8ait-i

8pk-^

8ak—i

8ak-i

8pk

8ak-i

8ak-i

8pk^i '

Imschenetsky: Sur l’intégration des équations

(iO

hf da da dpn

df da da dxi^i

df da

Bf

dak-i ___

Sot-J

dpn

Bpn’

Bf

dak-i

Bf

dak-i

dxi^i ~~

dxi^i'

Bf

dak-i •

dttk-i

dxn

dXn

da dxn

D’après cela, on peut donner à l’égalité précédente la forme

dF df df

dXn dpn

J. JE- JL . EL

^ dpi^l dxi^l ^ ^ dpn dxn

En changeant F en f k en i, et vice versa, il vient

n ^EL-JE^

m=0 ^ dam dxk dxk^i dpk^i

,^-ÈL JL JL

- '* dam dxi dxi-^i dpi^i

df dF dpk\^i dxk^i

On tire de là, par soustraction,

Tiï=0 aür