Si l’on suppose

s = r, et «J = 61, og = 62, . . «r = br, la formule (6) devient

LF. n = (F, n + { (F, -(A „,)g}

dak dajc dai )

Dans la dernière sommation du second membre, on fera successivement z = l, 2,..., r — 1, et, pour chaque valeur de on prendra pour k toutes les valeurs plus grandes que f, jusqu’à r inclusivement.

Si les fonctions F et f ne contiennent pas explicitement les variables Xi,..., Xn» pn, la formule (6) prendra la forme

duk dak dut )

Si la fonction F contient les variables a:,,..., Xn, Piy..., pn seulement sous forme explicite, et que la fonction f ne contienne ces variables que dans les fonctions «i,..., «r, on a alors, par la formule (6),

[F,f]=Si{F, ai)

düi

38. Les expressions des dérivées partielles de (q?, i/;) s’obtiennent très-simplement. En désignant par u une quelconque des variables Xm /?n, on a

52 Imsc fienetshy : Sur V intégration des équations

d(p d'ifj dxi ’ dxi d(p dtjj

dpi ’ dpi

dtp

CQp

d^ip

dxi du ’

dxi

dxi du

d^cp

dil^

^ Si

d^'tp

dpi du

dpi

dpi ’

dpi du

Quoique J dans la théorie de l’intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre, nous n’ayons pas occasion de rencontrer les dérivées d’ordres supérieurs de (ç), i//), remarquons cependant, en passant, la forme très-simple de leur expression, semblable à celle que Leibniz a donnée pour la valeur de

La formule (9) donne, en effet,

(y* P) /pV A , O

du^ \du^^ V \ du* du) ^ v ’ du^)‘

On conclut de là, par la méthode ordinaire de démonstration des propositions trouvées par analogie, que l’on a

0«(qD, 'ifj) /d”q) \ /d^—^qp dtp\

du^ V du”* ” y du”~^ * du)

+it

\du”-^

0n— 2 gj

du”-^ *

-1) fd

du”-^ /

du^J

du”-‘^)

Les formules générales du paragraphe précédent s’appliquent d’une manière très -simple à la démonstration de tous les théo>

aux dérivées partielles du premier ordre.

Cil. IV, §. Î7. 5H

rèmes sur lesquels est fondée la nouvelle méthode pour l’intégration des équations aux dérivées partielles de J a c O b i.

Théorème I.

39. Soient A, B, C trois fonctions des variables Xi,..., Xm prii désignons, pour abréger, leurs dérivées partielles par les lettres correspondantes affectées des variables comme indices

Car,. >

En faisant, dans la formule (8),

t = {B, C) ~ Bx^ Cp^ — Bp^ Cxy + . . . + Bxj^ Cp^ — Bp^ Cx^ , il vient

{A, (B, O] = (A, Bx,)Cp^^(A, Bp^)Cx^

+ ... + ( J, BxJCp^~(A, BpJCp^^

+ (J, Cp^Bx^-{A, Cr,)i5pj + ...-f (J, Cp^)Bx^~{A, CxJBp^,

sorte

qu’on

ait

dxi ~

Ax,,

lc§

dxi ~~

Bp,,

dpi

^Vi >

dpi

{a) {A, {B, Cl] =

{A, Bx^3 Cx. (A, Cx^, Bx.

(A, Bp.), Cp. (A, Cp.), Bp.

En permutant circulairement les lettres A, B, C, on trouve

(B, Cx,), Ax, {B, Cp^), Ap,

(B, Ax,), Cx, {B, Ap.), Cp,

On pourrait obtenir de la même manière l’expression de [C, (A, B)]', mais il vaut mieux employer pour cela un autre moyen. En vertu des formules (1), (9) et (4), on trouve

Imschen etsky : Sur V intégration des équations

^Xi

dpi'

Spi

Cx.,

Cp.f

iAf^, B)

Cx-i (A, Bx.) Cp,. {À\ Bp.)

En ajoutant les égalités (a), (6), (c), on remarque immédiatement que dans la somme totale des seconds membres, il se produit des réductions. En effet, la première somme du second membre de (a) détruit la seconde somme du second membre de (c), et la seconde somme du second membre de (b) la première somme du second membre de (c). On a, d’après cela,

^ I Cx,), Ax, 1 I (A, Cx,), Bx. I '1 (B. Cf.), Af. 1~^'| (A, Cf.), Bf. j

On en tire, en permutant circulairement les lettres.

[Bf (Cf A)]A-[Cf (Af B)] A- [A, (Bf C)]

(Cf Ax^f Bx^

(C, Ap.)f Bp.

(Bf Ax^)f Cx.

(Bf Ap.)f Cp^

[Cf (Af B)^A-[Af (Bf C)-\A-[Bf (Cf A)]

^ Si

(A, Bx.)f Cx^

(Af Bp )f Cp.

^Si

(Cf Bx.)f Ax.

(Cf Bp^), Ap^

Ajoutons les égalités (a'), (6'), (c'), en remarquant que leurs premiers membres^ sont identiques; que dans les seconds membres, en vertu de la première formule (4), les sommes se réduisent deux à deux à une, et qu’en vertu des formules (9) et (1),

La 1^® somme de (a') + la 2® de (c') donnent l’expression de

^[Af (Bf C)];

La 1^® somme de (6') + la 2® de (a') donnent — [Bf (Cf A)]; La 1»^® somme de (c')-f-la 2® de (6') donnent — [C, (Af B)].

Il vient alors

aux dérivées partielles du premier ordre.

Ch. IV, S 17. 55

mA. (B. 6’)] + [B, (C, ^)] + [C. (A, B)]|

= -[[A, (B, C)] + [B, (C, ^)] + [C, (A, B)]!, et par suite

Nous voyons par là que le théorème exprimé par l’identité précédente, et qui forme le principe fondamental de la nouvelle méthode deJacobi, se tire immédiatement et très - simplement des propriétés élémentaires de l’expression (qp, i/;).

Passons à la démonstration d’autres théorèmes.

Théorème II.

40, Soient n équations

(A) H — a, /fl = «1,. Hn~\ = «fl-i,

a, a],. an-i désignant des constantes arbitraires, et H, /fi,.., Hn~\ des fonctions des variables Xy^..., Xm Pm vérifiant identi-

quement les conditions

{Hu Bu) = 0,

pour toutes les valeurs des indices i et k, prises dans la série

Nous allons démontrer qu’en tirant du système des équations précédentes les valeurs de pn, ces valeurs satisfont iden-

tiquement aux conditions

dpi dpk dxk'^ dxi'

pour toutes les valeurs des indices i et k, prises dans la série

Supposons qu’au moyen des équations (h) on ait obtenu les valeurs

Pi B (^Xy, • . . f Xtii Uf ay,..*f an—i) , pk — ^ f i,Xy , ... f XtI) riy üy, ... y Ufi — l) >

Si l’on considère a, Ui,...., Un-i comme des fonctions des variables Xy,..., Xn, py,*».» pn déterminées par les équations (A), on trouve, d’après la formule (6),

Imschenetshy: Sur V intégration des équations

0ai ôc/fc

dük da

Oit).

Mais, en substituant les valeurs an-i=^Hn-^iy la fonc-

tion F se change en pi, la fonction en /?jt, et le premier membre de l’égalité précédente prend la forme [/?i, par suite, il est identiquement égal à zéro. Le premier terme du second membre est aussi nul, puisque l’expression {F, f) est formée en considérant a, , o«i comme des constantes, et que les fonctions F

et f ne contiennent pas explicitement les variables pn-

Le troisième terme du second membre est nul, p^r suite des conditions

{au ak) = {Hu Hk) = 0.

Donc le second terme du second membre doit être aussi nul, c’est* à -dire qu’on aura identiqement

Le premier membre de cette inégalité peut se mettre sous une forme plus simple, en substituant les valeurs de (F, ai) et de (/, ai). En effet, on a

dF dan-i ^F dan—i ^F dan~i dFdan-~i

( , an-^l) — 0^^ 0^^ 0^^ • • 0^^ 0^^ • • 0^^ Qp^

Ajoutant ces égalités, après les avoir multipliées respectivement

dF .

ÈSLl.

df dqn-]

* ‘ don-^i dpi

dF.

fdfda \^da dpk

df dan—i ‘ ‘ ^ dan-l dpi:

. + dxj

df dttn-l

Sfln— 1 dpn

aux dérivées partielles du premier ordre.

Ch. IV, §. 17. 57

Mais si, dans l’équation

pk — tipCy,..., Xn, a,..., ün-l).

nous avons égard aux égalités

(t = H, = Hi9 •• • » ttn—l = Hn—\i

cette équation devient alors identique. En la différentiant par rapport à Tune quelconque p des quantités Pi,..., pn> on trouve

dpk ^ , , y dün-l

dp da dp • • * • + ^an—i dp

et il est clair, d’après cela, que le second membre se réduira à l’unité si /? = pk, tandis que dans tous les autres cas il se réduira à zéro. Par conséquent '

ai)

dût

dxk

On démontrera de même que

On a donc l’identité

df dpi dxi dxk

ce qu’il fallait démontrer.

dpk

dxi

En vertu de ce qui a été établi (§§. 11 et 15) et du théorème précédent, on doit considérer les équations

comme des conséquences réciproques les unes des autres, et l’on peut prendre les secondes aussi bien que les premières pour conditions d’intégrabilité de l’expression différentielle

Pi dxi + p^idx.2, + . . . + Pndxn^

Jacobi donne encore deux autres formules pour les conditions d’intégrabilité, que nous allons établir par le même moyen que la précédente.

Théorème III.