LL LE

dpn dXn

On aura donc identiquement

dF df

ôf

BF Bf

dxk

c'est-à-dire •

{F— pu /■— ;?t)=0.

Nous démontrerons absolument de la même manière cet autre théorème, également nécessaire pour ce qui doit suivre:

Théorème IV.

d'i?. En conservant les conditions des deux théorèmes précédents, supposons que, parmi les équations {h), on prenne m équations quelconques, par exemple les m premières.

mix dérivées parlielles du premier ordre.

Ch. IV, S. 17. 61

H — tt, — CLi, . . . f Hm—l — — 13

(en supposant naturellement m<^n). Au moyen de ces équations, nous pourrons exprimer m quelconques des quantités ‘iPn

en fonction des n — m autres, des variables Xn et des con-

stantes «, «J,..., Om— 1. Concevons qu’on ait déterminé de cette manière pi, p^,..., pm, et soient i et k deux nombres quelconques, non plus grands que m. Supposons que l’on ait

pi (p{Xi,..., Xn, Pn, U, Oj,..., am—i) = 0,

p\z—'i\){x-^,...,Xn, Pn, «, «i,..., Oni-l) = 0.

Nous allons démontrer que les premiers membres de ces équations satisfont à la condition

(pi-cp, pk—'ijj) = 0.

En eflfet, en faisant

a-=z H, a^ — Hi,..., Um-i — i/m-i, on a, par la formule (6),

[9, tf.] = (<p, t)+ ^ P’

dop d'IP dq) d'IP

dür das dûs düi

as).

Mais, par ta substitution des valeurs de am-i, le premier

membre et le dernier ferme du second membre de cette égalité se réduTsent à zéro; donc

On a, de plus.