Chapitre V

43. Les propositions démontrées dans les deux paragraphes précédents peuvent être considérées comme des lemmes auxiliaires. Ces lemmes étant établis, nous pourrons maintenant exposer, sans faire de digressions, la méthode de Jacobi pour l’intégration du système des équations (6) du §. 15, à la résolution duquel nous avons ramené notre problème de l’intégration d’une équation aux dérivées partielles du premier ordre à un nombre quelconque de variables iudépendantes.

Nous exposerons d’abord cette méthode, en nous servant seulement des théorèmes 1 et îï du §. 17; puis nous ferons voir comment, à l’aide des théorèmes lli et IV, on peut simplifier et compléter la théorie de ce problème.

44. En vertu de l’équation donnée aux dérivées partielles du premier ordre

Xn, Pn) = a,

il faut d’abord déterminer une équation de forme analogue

(æ?| , - . . , Xn» Pi f • ' • i Pn) "—0.1,

dans laquelle «i désigne une constante arbitraire, et une fonction inconnue. Cette fonction doit être déterminée de manière à satisfaire à l’équation linéaire

dH^ Ma.

dxi dpi dpi dxi dHi ^

dxn dpn dpn ^Xn

D’après cela, en prenant le système d’équations simultanées aux différentielles ordinaires

/ \ dxi dpi dxn

m — m ~Jh

^Pi dxi dpn

et déterminant une de leurs intégrales

fl (^1,.-., X71, pi,. . ., Pn) = const..

dXn

(Hi, H) =

J7nschenetsky: Sur V intégration des équations

lions pourrons poser et, en désignant par la con-

stante arbitraire, nous aurons

H = a, = fl = ai. . \