On devra ensuite déterminer l’équation

H^{Xi,,.,, Xn, pn) = ^2,

dans laquelle représente une constante arbitraire, et H.2, une fonction inconnue, qu’il faudra choisir de manière à satisfaire aux deux équations linéaires

(2) (^2, H) = 0, fi) ^ 0,

dont l’une est identique avec l’équation (1), et l’autre se déduit de (1) par le changement de H en f.

En s’appuj^ant sur le Théorème I (§. 17), Jacobi a démontré que, si l’on connaît l’intégrale de l’une des équations (2), on peut trouver la solution commune de ces deux équations, ‘par l’intégration d’une équation linéaire auxiliaire où le nombre des variables est moindre que 2w.

On commencera donc par déterminer une intégrale de l’une des équations (2). Si l’on prend une intégrale de la première, cette intégrale devra être diflférente des deux intégrales déjà connues /f = a et fi — üi. Supposons que cette troisième intégrale soit

(p{xi,..., = const.

Par des substitutions successives dans le premier membre de la seconde des équations (2), on obtient les fonctions

( (qp, fl) = fl) — 9^2» fl) =

fi) = cpi,....

Cette suite peut, en général, se prolonger indéfiniment; mais si le résultat d’une de ces substitutions, (pi par exemple, est égal à une constante, la suite s’arrêtera à ce terme.

Nous allons démontrer que les fonctions cpi, cp^, 9)3,.. satisfont toutes à la première des équations (2). Pour cela, prenons l’identité donnée par le Théorème I,

et posons Ar=:H^ = Alors cette identité prendra la forme

aux dérivées partielles du premier ordre.

Ch. F, §. 18. 65

En faisant maintenant tour à tour

C — (p, cpii (p2,

on trouve successivement ïes identités

[ff, (A, g> )] = («, ^,) = 0,

[H, (fl, y,)] = (H, 92) = 0,

[H, (fl, Ç.2)] = (H, g,,) = 0,

qui démontrent le théorème.

46. De là résulte, comme conséquence évidente, une conclusion très -importante, relative aux intégrales du système des équations («), et qui est connue sous le nom de théorème de Poisson.

8i l’on pose, en effet,

(p^ ~ const., ^2 = const., qpg const.,...,

on obtiendra des intégrales des. équations (à) (§. 9). Par suite, connaissant deux intégrales de ces équations,

^ = const., (p = const=,

distinctes de = const., nous en obtiendrons une troisième en posant

(fl, (p) = const , puis une quatrième en posant

[/i^ (fl? 9)] = const.,

et ainsi de suite.

Pour ne pas nous écarter de notre objet principal, nous nous bornerons ici à ces remarques, nous réservant de revenir plus tard sur le théorème de Poisson.