Comme les équations (a) n’ont que — 1 intégrales
distinctes, il s’ensuit de là qu’en prolongeant indéfiniment la suite (/3), on ne pourra obtenir toujours des fonctions distinctes, et qu’on devra nécessairement finir par rencontrer une fonction qui soit elle -même une fonction des intégrales déjà trouvées. Soit <pi la première fonction qui soit dans ce cas, i devant être Posons
Imschenetshy: Sur V intégration des équations
Il serait inutile de prolonger la suite (|3) au delà de la fonction ç?*, puisque de cette manière on n’obtiendrait pas de nouvelles intégrales. En effet, par la formule (8) du §. 16 (art. 37), on a
dF dF
= (fff fl) (fi> ^ '
+ (qpî-i.
fl)
dF
d(pi-i
— 0 +0-fg)i + fl, (p,.., 9)2-1) 0^—*
d’où il résulte évidemment que cpi-\.i s’exprime au moyen des seules variables H, fi, ç?,..., 92-1. ■
48. Proposons-nous maintenant de trouver, s’il est possible, une fonction des intégrales déjà obtenues H, /J, cp, ç)),..., q)i-i, telle que, substituée à la place de elle satisfasse aux équations (2). En désignant par /a fonction cherchée, et posant
^2 fl, cp, qoi . . . . , 92-1),
on trouve que, en vertu de la formule (8) du §. 16. (art. 37), les premiers membres des équations (2) prennent la forme
(A, /; ) = (H, fl) ^ +,(fi, /i)g^ f (<P, fi)^^
et, comme on a identiquement
(H, H) = 0, (A, H) = 0, (cp. H) = 0,
{(pi, /f) = 0, . . . , (92-1, H) = 0,
{H,fi)r=zQ, {fl, fi) = 0, {cp,fi) = cpi,
(<Pu fl) = fl) = 9^2,
’léquation {H^, /f ) = 0 sera satisfaite pour = /i» quelle que soit la fonction f^, comme on pouvait d’ailleurs le prévoir.
aux dérivées partielles du premier ordre.
Ch. V, S, i8. 67
L’équation {fLiy /i)=0se transforme, par ces substitutions, en cette autre équation Jiuéaire
renfermant seulement les nouvelles variables H, f^, cp, (pi,..» (pi-u et (l’où les anciennes variables Xi,..,Xn, sont éliminées.
Dans l’équation (y), H ai pourront être considérées comme des constantes, puisque cette équation ne contient pas les dérivées partielles prises par rapport à ces variables. On peut donc, dans la fonction F, remplacer H et fi respectivement par a et a^.
11 nous suffira de déterminer une intégrale particulière de l’équation (y), ou une des intégrales du système d’équations simultanées aux différentielles ordinaires
dcp dcpi d(pi—2> dcpi—i
que l’on peut remplacer par une seule équation aux différentielles ordinaires d’ordre i—\. Si l’on introduit une nouvelle variable auxiliaire t, en égalant à dt la valeur commune des rapports précédents, ce système pourra être remplacé par une équation différentielle ordinaire d’ordre mais d’une forme comparativement plus simple.
En effet, si l’on pose
d^i dq)2, d(pi-<i __ d(pi—i
dcpi __ d^cp d^cp
~dï ~ ~ih^~ ~ *5 — 9>3’
d(pi^ d^-^cp
d(pi-i d^cp
~dx~ 915---5 91-1)5
d’où, en substituant, dans la dernière équation, à (pi,...., (pi-\ leurs valeurs tirées des précédentes, on tire l’équation aux différentielles ordinaires, d’ordre <*, que nous avons annoncée plus haut.
dx =
dcp
il vient
dcp dr =
Imschenetsky: Sur l’intégration des équations
d}çp
dr^
«1, (jP,
dcp d^—^cp\
Supposons qu’une des intégrales prennères de cette dernière équation soit
Si
dq)
dx
d^~^cp\
— const.
l’on y substitue pour
dq)
dx
leurs valeurs, il vient
(P((p, q?!,..., = const.,
et l’on pourra poser /Jj — 0. En désignant maintenant par «2 constante arbitraire, on aura déjà les trois équations aux dérivées partielles du premier ordre
H ~ a, //j — f/j, — fil ~
satisfaisant aux conditions voulues.
49. R^emarque 1. Si dans la série des fonctions ç),, ç)2»--> q)i—\:, q)U la dernière q)i est = 0, il est évident que l’avant dernière q)i-\ sera l’intégrale cherchée, connnune aux équations ('2).
Si q)i est égale à une constante K , alors la solution se simplifie, puisqu’on a, dans ce cas,
dqi~2 dqi—i
d’où l’on tire, en intégrant,
'IKqji-ï ~ q)i-i^ — const..
et par suite
fl = ^2Kq)i-2 — q)i-i - — «2.
Mais dans ce cas il faut que i soit plus grand que 1; car autrement la méthode précédente pour déterminer fi ne serait plus applicable. Supposons, en effet, q)^ = K , K étant une constante donnée ou une fonction deqj; alors l’équation {y) prend la forme
oq)
ce qui montre qu’aucune fonction de la seule quantité gp ne peut être une intégrale commune des deux équations simultanées (2).
anx dérivées partielles du premier ordre.
Ch. V, â'. IS. 69
En pareil cas, il faut commencer par déterminer une intégrale de la seconde des équations (2),
OU bien déterminer une intégrale
6(xi,.. Xn, Pi, . . . , /?ft) = const.
de la première équation (2), différente des intégrales H — a, ^ = «1 et rp = const. ; ou encore suivre la méthode que nous exposerons plus bas.
Si l’intégrale 6 = const. se trouvait dans le même cas que l’intégrale 9)= const, c’est-à-dire, si l’on avait les deux identités
K et L étant des constantes, ou des fonctions quelconques de 9) et de 6 respectivement, alors la valeur de //a s’obtiendrait très-simplement. Si l’on pose, en effet,
on trouve que les premiers membres des équations (2) prennent la forme
mais, comme on a les identités
la première des équations (2) est alors satisfaite par une forme quelconque de la fonction et la seconde de ces équations prend la forme
.0/i . . 0/; 8^ + ëë‘
d’où l’on tire
'‘‘-in -St)-
71 désignant une fonction arbitraire.
