Au moyen des trois équations connues

Imsc heiietsky : Sur IHntégration des équations

H — a, = fy— «1, — = a.2,

on en déterminera une quatrième désignant une con-

stante arbitraire, et la lonctiori devant être calculée de manière à satisfaire aux trois équations linéaires simultanées

Cherchons, d’après la méthode que nous venons d’exposer, une intégrale commune à deux de ces équations, aux deux premières, par exemple. 11 suffira pour cela de déterminer une autre

intégrale première de l’équation = F, différente de (P = const.

Représentons cette intégrale par

x„, pi,..., pn)\

il s’agit d’en déduire une intégrale commune du système des trois équations (3).

Pour cela, par des substitutions successives dans le premier membre de l’équation (Æfg, = 0, formons les expressions

fi) = U) = '^2» h) = fi)—'^k,^.*.

Dans la suite des fonctions ipi,..., 'ipkf-, on devra finir par

en rencontrer une qui s’exprime au moyen des précédentes. Soit

= f ('4^, -1^2, , 'tpk-l)

la première des fonctions qui soit dans ce cas.

On verra, absolument comme on l’a fait plus haut, que sont des intégrales des deux premières équations (3). Car si, dans l’identité

on prend d’abord A = Hf jB=f2,f puis B—fi, on aura les

deux autres identités

[fl. (fi. e)] + [A, (C, A)] = o.

En y faisant successivement

C = Ip, 'Ipi, - '^^k-h

on obtient les deux suites d’identités

mix dérivées partielles du premier ordre. Ch. V, 18. 71

[fl, ih, ’f’)] = (’f’j. fl) = 0, [fl, (h, ti)] = (t2. fl) = 0,...,

qui démontrent le théorème.

Il faut ensuite chercher une fonction /’g des variables H, fi, /2» quij mise à la place de /fg, satisfasse à toutes

les trois équations (3).

Or on vérifie aisément, comme au n” 48, que les deux premières de ces équations sont satisfaites, quelle que soit la forme

de la fonction /’g. Quant à la troisième équation (3), en y faisant

//g^z/g, elle se change dans l’équation linéaire suivante,

qui ne renferme que les variables ip, i/zj , . . , 1/;^— i. Si la fonction f renfermait les variables H, fy, /ij, on pourrait les remplacer respectivement par les constantes a, r/j, a^, puisque l’équation ne contient pas de dérivées partielles prises par rapport à H, fy ou

Ainsi la fonction /’g doit être déterminée comme une intégrale particulière de l’équation linéaire précédente, ou comme une des intégrales du système d’équations simultanées

ac=^ = ^

dijJk-i

a désignant une variable auxiliaire: ce qui conduit finalement à la recherche d’une des intégrales premières de féquation d’ordre k, à deux variables.

d'il)

dë”--’

Si cette intégrale est

7JS

(dijj

const..

en y substituant les valeurs -^ = i{jy, — , , nous

pourrons poser

/g = i/;i,..., TfJk-i) = const. = «g.

Ainsi, nous connaissons déjà quatre équations

72 Imschenetsky: Sur l' intégration des équations k.

fi üi—fi — ^1 » ^2^/2= ^^2^ Us — fa — ^3»

satisfaisant aux conditions (1), (2) et (3).

51. Remarque 2. Il faut observer ici que, si le résultat de la première substitution (ip, f{) ou -i/;, est une fonction de î// ou une constante quelconque différente de zéro, la méthode précédente pour la détermination de se trouvera en défaut, comme dans le cas dont il a été question dans la Remarque 1 (n” 49), relativement à la détermination de la fonction